Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/24

Haec pagina emendata est

SECTIO SECUNDA

DE

CONGRUENTIIS PRIMI GRADUS.

Theoremata praeliminaria de numeris primis, factoribus etc.

13.

Theorema. Productum e duobus numeris positivis numero primo dato minoribus per hunc primum dividi nequit.

Sit $p$ primus, et $a$ positivus $<p$ : tum nullus numerus positivus $b$ ipso $p$ minor dabitur, ita ut sit $\textstyle ab\equiv 0{\pmod {p}}$ .

Dem. Si quis neget, supponamus dari numeros $b,c,d$ etc. omnes $<p$ , ita ut $ab\equiv 0$ , $ac\equiv 0$ , $\textstyle ad\equiv 0$ etc. $\!\textstyle {\pmod {p}}.$ Sit omnium minimus $b$ , ita ut omnes numeri ipso $b$ minores hac proprietate sint destituti. Manifesto erit $b>1$ : si enim $b=1$ , foret $ab=a<p$ (hyp.), adeoque per $p$ non divisibilis. Quare $p$ tamquam primus per $b$ dividi non poterit, sed inter duo ipsius $b$ multipla proxima $mb$ et $(m+1)b$ cadet. Sit $p-mb=b'$ , eritque $b'$ numerus positivus et $<b$ . Iam quia supposuimus, $\textstyle ab\equiv 0{\pmod {p}}$ , habebitur quoque $mab\equiv 0$ (art. 7), et hinc, subtrahendo ab $ap\equiv 0$ , erit $a(p-mb)=ab'\equiv 0$ ; i. e. $b'$ inter numeros $b,c,d$ etc. referendus, licet minimo eorum $b$ sit minor. Q. E. A.

14.

Si nec $a$ nec $b$ per numerum primum $p$ dividi potest: etiam productum $ab$ per $p$ dividi non poterit.