Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/28

Haec pagina emendata est

18

de congruentiis primi gradus.

21.

Quando $a,b,c$ etc. sunt inter se primi, et productum $abc$ etc. potestas aliqua, puta $k^{n}$ : singuli numeri $a,b,c$ etc. similes potestates erunt.

Sit $a=l^{\lambda }m^{\mu }p^{\pi }\!$ etc., designantibus $l,m,p$ etc. numeros primos diversos, quorum nullus per hyp. est factor numerorum $b,c$ etc. Quare productum $abc$ etc. factorem $l$ implicabit $\lambda$ vicibus, factorem $m$ vero $\mu$ vicibus etc.: hinc (art. praec.) $\lambda ,\mu ,\pi$ etc. per $n$ divisibiles adeoque ${}^{n}\!\!\!\surd {a}=l^{\frac {\lambda }{n}}m^{\frac {\mu }{n}}p^{\frac {\pi }{n}}\mathrm {etc.}$ integer. Similiter de reliquis $b,c$ etc.

Haec de numeris primis praemittenda erant; iam ad ea quae finem nobis propositum propius attinent convertimur.

22.

Si numeri $a,b$ per alium $k$ divisibiles secundum modulum $m$ ad $k$ primum sunt congrui: ${\tfrac {a}{k}}$ et ${\tfrac {b}{k}}$ secundum eundem modulum congrui erunt.

Patet enim $a-b$ per $k$ divisibilem fore, nec minus per $m$ (hyp.); quare (art. 19) ${\tfrac {a-b}{k}}$ per $m$ divisibilis erit, i.e. erit $\textstyle {\tfrac {a}{k}}\equiv {\tfrac {b}{k}}{\pmod {m}}$ .

Si autem reliquis manentibus $m$ et $k$ habent divisorem communem maximum $e$ , erit ${\tfrac {a}{k}}\equiv {\tfrac {b}{k}}$ (mod. ${\tfrac {m}{e}}$ ). Namque ${\tfrac {k}{e}}$ et ${\tfrac {m}{e}}$ inter se primi. At $a-b$ tam per $k$ quam per $m$ divisibilis adeoque etiam ${\tfrac {a-b}{e}}$ tam per ${\tfrac {k}{e}}$ quam per ${\tfrac {m}{e}}$ , hincque per ${\tfrac {km}{ee}}$ i. e. ${\tfrac {a-b}{k}}$ per ${\tfrac {m}{e}}$ , sive ${\tfrac {a}{k}}\equiv {\tfrac {b}{k}}$ (mod. ${\tfrac {m}{e}}$ ).

23.

Si $a$ ad $m$ primus, et $e,f$ numeri secundum modulum $m$ incongrui: erunt etiam $ae$ , $af$ incongrui secundum $m$ .

Hoc est tantum conversio theor. art. praec.

Hinc vero manifestum est, si $a$ per omnes numeros integros a $0$ usque ad $m-1$ multiplicetur productaque secundum modulum $m$ ad residua sua minima reducantur, haec omnia fore inaequalia. Et quum horum residuorum, quorum nullum $>m$ , numerus sit $m$ , totidemque dentur numeri a $0$ usque ad $m-1$ , patet, nullum horum numerorum inter illa residua deesse posse.