Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/32

22

de congruentiis primi gradus.

Ponamus itaque $a=\delta e$, $m=\delta f$, $t-u=\delta k$, eritque $e$ ad $f$ primus. Tum vero congruentiae propositae $\textstyle \delta ex+\delta k\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {\delta f}}$ aequivalebit haec $\textstyle ex+k\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {f}}$, i. e. quicunque ipsius $x$ valor huic satisfaciat, etiam illi satisfaciet et vice versa. Manifesto enim $ex+k$ per $f$ dividi poterit, quando $\delta ex+\delta k$ per $\delta f$ dividi potest, et vice versa. At congruentiam $\textstyle ex+k\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {f}}$ supra solvere docuimus; unde simul patet, si $v$ sit unus ex valoribus ipsius $x$, $\textstyle x\equiv v{\pmod {f}}$ exhibere resolutionem completam congruentiae propositae.

30.

Quando modulus est compositus, nonnumquam praestat sequenti methodo uti.

Sit modulus $=mn$, atque congruentia proposita $ax\equiv b$. Solvatur primo congruentia haec secundum modulum $m$, ponamusque ei satisfieri, si $\textstyle x\equiv v{\pmod {\frac {m}{\delta }}}$, designante $\delta$ divisorem communem maximum numerorum $m,a$. Iam manifestum est, quemvis valorem ipsius $x$ congruentiae $ax\equiv b$ secundum modulum $mn$ satisfacientem eidem etiam secundum modulum $m$ satisfacere debere: adeoque in forma $\textstyle v+{\frac {m}{\delta }}x'\!$ contineri, designante $x'\!$ numerum indeterminatum, quamvis non vice versa omnes numeri in forma $\textstyle v+{\frac {m}{\delta }}x'\!$ contenti congruentiae secundum $\mathrm {mod.\ } mn$ satisfaciant. Quomodo autem $x'\!$ determinari debeat, ut $\textstyle v+{\frac {m}{\delta }}x'\!$ fiat radix congruentiae $\textstyle ax\equiv b{\pmod {mn}}$, ex solutione congruentiae $\textstyle {\frac {am}{\delta }}x'+av\equiv$ $\textstyle b{\pmod {mn}}$ deduci potest, cui aequivalet haec $\textstyle {\frac {a}{\delta }}x'\equiv$ $\textstyle {\frac {b-av}{m}}{\pmod {n}}$. Hinc colligitur, solutionem congruentiae cuiuscunque primi gradus secundum modulum $mn$ reduci posse ad solutionem duarum congruentiarum secundum modulum $m$ et $n$. Facile autem perspicietur, si $n$ iterum sit productum e duobus factoribus, solutionem congruentiae secundum modulum $n$ pendere a solutione duarum congruentiarum, quarum moduli sint illi factores. Generaliter solutio congruentiae secundum modulum compositum quemcumque pendet a solutione aliarum congruentiarum, quarum moduli sunt factores illius numeri; hi autem, si commodum esse videtur, ita semper accipi possunt, ut sint numeri primi.

Ex. Si congruentia $\textstyle 19x\equiv 1{\pmod {140}}$ proponitur: solvatur primo secundum modulum 2, eritque $\textstyle x\equiv 1{\pmod {2}}$. Ponatur $x=1+2x'\!$, fietque $\textstyle 38x'\equiv -18{\pmod {140}}$, cui aequivalet $\textstyle 19x'=-9{\pmod {70}}$. Si haec