Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/423

Haec pagina emendata est

413

reductio ad casum simplicissimum.

cessu ad multas alias functiones transscendentes applicari possunt, e. g. ad eas, quae ab integral $\textstyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\surd {(1-x^{4})}}}$ pendent, praetereaque etiam ad varia congruentiarum genera: sed quoniam de illis functionibus transscendentibus amplum opus peculiare paramus, de congruentiis autem in continuatione disquisitionum arithmeticarum copiose tractabitur, hoc loco solas functiones circulares considerare visum est. Imo has quoque, quas summa generalitate amplecti liceret, per subsidia in art. sq. exponenda ad casum simplicissimum reducemus, tum brevitati consulentes, tum ut principia plane nova huius theoriae eo facilius intelligantur.

Disquisitio reducitur ad casum simplicissimum, ubi multitudo partium, in quas circulum secare oportet, est numerus primus.

336.

Designando circuli peripheriam sive quatuor angulos rectos per $P$ , supponendoque $m$ , $n$ esse integros, atque $n$ productum e factoribus inter se primis $a$ , $b$ , $c$ etc.: angulus $A={\tfrac {mP}{n}}$ per art. 310 sub hanc formam reduci potest $\textstyle A$ $=$ $({\tfrac {\alpha }{a}}+{\tfrac {\beta }{b}}+{\tfrac {\gamma }{c}}+\mathrm {etc.} )\,P$ , functionesque trigonometricae ipsi respondentes e functionibus ad partes ${\tfrac {\alpha P}{a}}$ , ${\tfrac {\beta P}{b}}$ etc. pertinentibus per methodos notas deducentur. Quoniam itaque pro $a$ , $b$ , $c$ etc. numeros primos aut numerorum primorum potestates accipere licet: manifesto sufficit, sectionem circuli in partes, quarum multitudo est numerus primus aut primi potestas, considerare, polygonumque $n$ laterum e polygonis $a$ , $b$ , $c$ etc. laterum protinus habebitur. Attamem hoc loco disquisitionem ad eum casum restringemus, ubi circulus in partes dividendus est, quarum multitudo est numerus primus (impar), sequenti praesertim ratione inducti. Constat, functiones circulares angulo ${\tfrac {mP}{pp}}$ respondentes e functionibus ad ${\tfrac {mP}{p}}$ pertinentibus per solutionem aequationis $p$ ^ti gradus derivari, et perinde ex illis per aequationem aeque altam functiones ad ${\tfrac {mP}{p^{3}}}$ pertinentes etc., ita ut, si polygonum $p$ laterum iam habeatur, ad determinationem polygoni $p^{\lambda }\!$ laterum necessario solutio $\lambda -1$ aequationum $p$ ^ti gradus requiratur. Etiamsi vero theoriam sequentem ad hunc quoque casum extendere liceret, tamen hac via non minus ad totidem aequationes $p$ ^ti gradus delaberemur, quae, siquidem $p$ est numerus primus, ad inferiores deprimi nullo modo possunt. Ita e. g. infra ostendetur, polygonum $17$ laterum geometrice construi posse: sed ad determinationem polygoni $289$ laterum aequationem $17$ ^mi gradus nullo modo evitare licet.