Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/424

414

de aequationibus circuli sectiones definientibus.

Aequationes pro functionibus trigonometricis arcuum, qui sunt pars aut partes totius peripheriae; reductio functionum trigonometricarum ad radices aequationis $x^{n}-1=0$.

337.

Satis constat, functiones trigonometricas omnium angulorum ${\tfrac {kP}{n}}$, denotando per $k$ indefinite omnes numeros $0$, $1$, $2$ … $n-1$, per radices aequationum $n$^ti gradus exprimi, puta sinus per radices huius $\mathrm {(I)}$ $\textstyle x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}+{\frac {1}{16}}{\frac {n.n-3}{1.2}}x^{n-4}-{\frac {1}{64}}{\frac {n.n-4.n-5}{1.2.3}}x^{n-6}+\mathrm {etc.} \pm {\frac {1}{2^{n-1}}}nx=0$ cosinus per radices huius $\mathrm {(II)}$ $\textstyle x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}+{\frac {1}{16}}{\frac {n.n-3}{1.2}}x^{n-4}-{\frac {1}{64}}{\frac {n.n-4.n-5}{1.2.3}}x^{n-6}+\mathrm {etc.} \pm {\frac {1}{2^{n-1}}}nx-{\frac {1}{2^{n-1}}}=0$ denique tangentes per radices huius $\mathrm {(III)}$ $\textstyle x^{n}-{\frac {n.n-1}{1.2}}x^{n-2}+{\frac {n.n-1.n-2.n-3}{1.2.3.4}}x^{n-4}-\mathrm {etc.} \pm nx=0$ Hae aequationes (quae generaliter pro quovis valore impari ipsius $n$ valent, $\mathrm {II}$ vero pro pari quoque), ponendo $n=2m+1$, facile ad gradum $m$^tum deprimuntur; scilicet $\mathrm {I}$ et $\mathrm {III}$, dividendo partem a laeva per $x$ et substituendo $y$ pro $xx$. Aequatio $\mathrm {II}$ autem manifesto radicem $x=1$($=\cos 0$) implicat, et e reliquis binae semper aequales sunt ($\cos {\tfrac {P}{n}}=\cos {(n-1)P}{n}$, $\cos {\tfrac {2P}{n}}=\cos {(n-2)P}{n}$ etc.); quare ipsius pars a laeva per $x-1$ divisibilis, quotiensque quadratum erit, cuius radicem quadratam extrahendo, aequatio $\mathrm {II}$ reducitur ad hanc $\textstyle x^{m}+{\frac {1}{2}}x^{m-1}-{\frac {1}{4}}(m-1)x^{m-2}-{\frac {1}{8}}(m-2)x^{m-3}$ 
 $\textstyle +{\frac {1}{16}}{\frac {m-2.m-3}{1.2}}x^{m-4}+{\frac {1}{32}}{\frac {m-3.m-4}{1.2}}x^{m-5}-\mathrm {etc.} =0$ cuius radices erunt cosinus angulorum ${\tfrac {P}{n}}$, ${\tfrac {2P}{n}}$, ${\tfrac {3P}{n}}$ … ${\tfrac {mP}{n}}$. Ulteriores reductiones harum aequationum, pro eo quidem casu, ubi $n$ est numerus primus, hactenus non habebantur.

Attamen nulla harum aequationum tam tractabilis et ad institutum nostrum tam idonea est, quam haec $x^{n}-1=0$, cuius radices cum radicibus illarum arctissime connexas esse constat. Scilicet, scribendo brevitatis caussa $i$ pro quantitate imaginaria $\surd {-1}$, radices aequationis $x^{n}-1=0$ exhibentur per $\textstyle \cos {\frac {kP}{n}}+i\sin {\frac {kP}{n}}=r$