Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/50

40

de residuis potestatum.

Considerantur primo moduli qui sunt numeri primi.

49.

Theorema. Si $p$ est numerus primus ipsum $a$ non metiens, atque $a^{t}\!$ infima ipsius $a$ potestas secundum modulum $p$ unitati congrua, exponens $t$ aut erit $=p-1$ aut pars aliquota huius numeri.

Conferantur exempla art. 45.

Demonstr. Quum iam ostensum sit, $t$ esse aut $=p-1$, aut $<p-1$, superest, ut in posteriori casu $t$ semper ipsius $p-1$ partem aliquotam esse evincatur.

I. Colligantur residua minima positiva omnium horum terminorum $1,a,aa\ldots a^{t-1}\!$, quae per $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. designentur, ita ut sit $\alpha =1$, $\alpha '\equiv a$, $\alpha ''\equiv aa$ etc. Perspicuum est, haec omnia fore diversa, si enim duo termini $a^{m}\!$, $a^{n}\!$ eadem praeberent, foret (supponendo $m>n$) $a^{m-n}\equiv 1$ atque $m-n<t$, Q. E. A. quum nulla inferior potestas quam $a^{t}\!$ unitati sit congrua (hyp.). Porro omnes $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. in serie numerorum $1,2,3...p-1$ continentur, quam tamen non exhaurient, quum $t<p-1$. Complexum omnium $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. per $(A)$ designabimus. Comprehendet igitur $(A)$ terminos $t$.

II. Accipiatur numerus quicunque $\beta$ ex his $1,2,3\ldots p-1$, qui in $(A)$ desit. Multiplicetur $\beta$ per omnes $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc., sintque residua minima inde oriunda $\beta ,\beta ',\beta ''\!$ etc., quorum numerus etiam erit $t$. At haec residua tum inter se quam ab omnibus $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. erunt diversa. Si enim prior assertio falsa esset, haberetur $\beta a^{m}\equiv \beta a^{n}\!$ adeoque dividendo per $\beta$, $a^{m}\equiv a^{n}\!$, contra ea quae modo demonstravimus; si vero posterior, haberetur $\beta a^{m}\equiv a^{n}\!$, unde, quando $m<n$, $\beta \equiv a^{m-n}\!$ i. e. $\beta$ alicui ex his $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc. congruus contra hyp.; quando vero $m>n$, sequitur multiplicando per $a^{t-m}\!$, $\beta a^{t}\equiv a^{t+n-m}\!$, sive propter $a^{t}\equiv 1$, $\beta \equiv a^{t+n-m}\!$, quae est eadem absurditas. Designetur complexus omnium $\beta ,\beta ',\beta ''\!$ etc., quorum multitudo $=t$, per $(B)$, habebunturque iam $2t$ numeri ex his $1,2,3\ldots p-1$. Quodsi igitur $(A)$ et $(B)$ omnes hos numeros complectuntur, fit $\textstyle {\tfrac {p-1}{2}}=t$ adeoque theorema demonstratum.

III. Si vero aliqui adhuc deficiunt, sit horum aliquis $\gamma$. Per hunc multiplicentur omnes $\alpha ,\alpha ',\alpha ''\!$ etc., productorumque residua minima sint $\gamma ,\gamma ',\gamma ''\!$ etc., omnium complexus per $(C)$ designetur. $(C)$ igitur comprehendet $t$ numeros ex his $1,2,3\ldots p-1$, qui omnes tum inter se quam a numeris in $(A)$ et $(B)$