Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/48

SECTIO TERTIA

DE

RESIDUIS POTESTATUM.

---

Residua terminorum progressionis geometricae ab unitate incipientis constituunt seriem periodicam. 45.

Theorema. In omni progressione geometrica $1,a,aa,a^{3}\!$ etc. praeter primum $1$, alius adhuc datur terminus $a^{t}\!$, secundum modulum $p$ ad $a$ primum unitati congruus, cuius eocponens $t<p$.

Demonstr. Quoniam modulus $p$ ad $a$, adeoque ad quamvis ipsius $a$ potestatem est primus, nullus progressionis terminus erit $\textstyle \equiv 0{\pmod {p}}$, sed quivis alicui ex his numeris $1,2,3\ldots p-1$ congruus. Quorum multitudo quum sit $p-1$, manifestum est, si plures quam $p-1$ progressionis termini considerentur, omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter terminos $1,a,aa,a^{3}\ldots a^{p-1}\!$ bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque $a^{m}\equiv a^{n}\!$ et $m>n$, fietque dividendo per $a^{n},a^{m-n}\equiv 1$ (art. 22), ubi $m-n<p$, et $>0$. Q. E. D.

Ex. In progressione $2,4,8$ etc. terminus primus, qui secundum modulum $13$ unitati est congruus, invenitur $2^{12}=4096$. At secundum modulum $23$ in eadem progressione fit $2^{11}=2048\equiv 1$. Similiter numeri $5$ potestas sexta, $15625$, unitati congrua secundum modulum $7$, quinta vero, $3125$, secundum $11$. In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam $p-1$ unitati congrua evadit, in aliis contra usque ad potestatem $p-1$^tum ascendere necesse est.