Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/52

42

de residuis potestatum.

p. 109. Quia vero evolutio potestatis binomii a theoria numerorum satis aliena esse videbatur, aliam demonstrationem ill. Euler investigavit, quae exstat Comment. nov. Petr. T. VII p. 70, atque cum ea quam nos art. praec. exposuimus prorsus convenit. In sequentibus adhuc aliae quaedam se nobis offerent. Hoc loco unam superaddere liceat, quae similibus principiis innititur, uti prima ill. Euleri. Propositio sequens, cuius casus tantum particularis est theorema nostrum, etiam ad alias investigationes infra adhibebitur.

51.

Polynomii $a+b+c+etc.$ potestas $p$^ta secundum modulum $p$ est $\textstyle \equiv a^{p}+b^{p}+c^{p}+etc.$ siquidem $p$ est numerus primus.

Demonstr. Constat potestatem $p$^tam polynomii $a+b+c+$ etc. esse compositam e partibus formae $\kappa a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\$ etc., ubi $\alpha +\beta +\gamma \$etc.$=p$, et $\kappa$ designat, quot modis $p$ res, quarum $\alpha ,\beta ,\gamma \$etc. respective sunt $=a,b,c\$etc., permutari possint. At supra art. 41 ostendimus, hunc numerum semper esse per $p$ divisibilem, nisi omnes res sint aequales, i. e. nisi aliquis numerorum $\alpha ,\beta ,\gamma \$etc. sit $=p$, reliqui vero $=0$. Unde sequitur, omnes ipsius $(a+b+c+$etc.$)^{p}\!$ partes, praeter has $a^{p},b^{p},c^{p}\$etc., per $p$ divisibiles esse; quae igitur, quando de congruentia secundum modulum $p$ agitur, tuto omitti poterunt, fietque $\textstyle (a+b+c+\mathrm {etc.} )^{p}\equiv a^{p}+b^{p}+c^{p}+\mathrm {etc.} \$Q. E. D.

Quodsi iam omnes quantitates $a,b,c\$etc.$=1$ ponuntur, numerusque earum $=k$ fiet $k^{p}\equiv k$, uti in art. praec.

Quot numeris respondeant periodi, in quibus terminorum multitudo est divisor datus numeri $p-1$.

52.

Quoniam igitur alii numeri quam qui sunt divisores ipsius $p-1$, nequeunt esse exponentes potestatum infimarum, ad quas evecti numeri aliqui unitati congrui fiunt, quaestio sese offert, num omnes ipsius $p-1$ divisores ad hoc sint idonei, atque, quando omnes numeri per $p$ non divisibiles secundum exponentem infimae suae potestatis unitati congruae classificentur, quot ad singulos exponentes sint perventuri. Ubi statim observare convenit, sufficere, si omnes numeri