Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/63

53

radices primitivae, indices.

concludendum, omnes valores expr. ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ inveniri non posse, nisi simul omnes valores expr. ${}^{n}\!\!\!\surd {1}$ constent.

66.

Secundum quod nobis proposueramus fuit docere, in quo casu unus expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ valor (ubi $n$ supponitur esse divisor ipsius $p-1$) directe inveniri possit. Hoc evenit, quando aliquis valor potestati alicui ipsius $A$ congruus evadit, qui casus quum haud raro occurrat, aliquantum huic rei immorari non superfluum erit. Sit talis valor, si quis datur $z$, sive $z\equiv A^{k}\!$ et $\textstyle A\equiv z^{n}{\pmod {p}}$. Hinc colligitur $A\equiv A^{kn}\!$; quare si numerus $k$ habetur, ita ut sit $A\equiv A^{kn}\!$, $A^{k}\!$ erit valor quaesitus. At huic conditioni aequivalet ista, ut sit $\textstyle 1\equiv kn{\pmod {t}}$, designante $t$ exponentem, ad quem pertinet $A$ (art. 46, 48). Ut vero haec congruentia possibilis sit, requiritur, ut sit $n$ ad $t$ primus. Hoc in casu erit $\textstyle k\equiv {\frac {1}{n}}{\pmod {t}}$; si vero $t$ et $n$ divisorem communem habent, nullus valor $z$ potestati ipsius $A$ congruus esse potest.

67.

Quum autem ad hanc solutionem ipsum $t$ novisse oporteat, videamus quomodo procedere possimus, si hunc numerum ignoremus. Primo facile intelligitur, $t$ ipsum ${\tfrac {p-1}{n}}$ metiri debere, siquidem $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ valores reales habeat, uti hic semper supponimus. Sit enim quicunque valor $y$, eritque tum $y^{p-1}\equiv 1$, tum $\textstyle y^{n}\equiv A{\pmod {p}}$; quare elevando partes posterioris congruentiae ad potestatem $\textstyle {\frac {p-1}{n}}$^tam, fiet $\textstyle A^{\frac {p-1}{n}}\equiv 1$; adeoque ${\tfrac {p-1}{n}}$ per $t$ divisibilis (art. 48). Iam si ${\tfrac {p-1}{n}}$ ad $n$ est primus, congruentia art. praec. $kn\equiv 1$ etiam secundum modulum ${\tfrac {p-1}{n}}$ solvi poterit, manifestoque valor ipsius $k$ congruentiae secundum modulum hunc satisfaciens eidem etiam secundum modulum $t$, qui ipsum ${\tfrac {p-1}{n}}$ metitur, satisfaciet (art. 5). Tum igitur quod quaerebatur, inventum. Si vero ${\tfrac {p-1}{n}}$ ad $n$ non est primus, omnes ipsius ${\tfrac {p-1}{n}}$ factores primi, qui simul ipsum $n$ metiuntur, ex ${\tfrac {p-1}{n}}$ eiiciantur. Hinc nanciscemur numerum ${\tfrac {p-1}{nq}}$, ad $n$ primum, designante $q$ productum ex omnibus illis factoribus primis, quos eiecimus. Quodsi iam conditio ad quam in art. praec. pervenimus ut $t$ ad $n$ sit primus, locum habet, $t$ etiam ad $q$ erit primus adeoque etiam ipsum ${\tfrac {p-1}{nq}}$ metietur. Quare si congruentia $kn\equiv 1$$\textstyle {\pmod {\frac {p-1}{nq}}}$ solvitur (quod fieri potest quia $n$ ad ${\tfrac {p-1}{nq}}$ primus), valor ipsius $k$ etiam secundum modulum