Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/64

54

de residuis potestatum.

$t$ congruentiae satisfaciet, id quod quaerebatur. Totum hoc artificium in eo versatur, ut numerus eruatur, qui ipsius $t$, quem ignoramus, vice fungi possit. Attamen probe meminisse oportet, nos, quando ${\tfrac {p-1}{n}}$ ad $n$ non est primus, supposuisse conditionem art. praec. locum habere, quae si deficit omnes conclusiones erroneae erunt; atque si regulas datas temere sequendo pro $z$ valor invenitur, cuius potestas $n$^ta ipsi $A$ non sit congrua, indicio hoc est, conditionem deficere adeoque methodum hanc omnino adhiberi non posse.

68.

Sed in hocce etiam casu saepe prodesse potest, hunc laborem suscepisse; operaeque pretium est, quomodo hic valor falsus ad veros sese habeat, investigare. Supponamus itaque, numeros $k$, $z$ rite esse determinatos sed $z^{n}$ non esse $\textstyle \equiv A{\pmod {p}}$. Tum si modo valores expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ determinari possint, hos singulos per $z$ multiplicando valores ipsius ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ obtinebimus. Si enim $v$ est valor aliquis ipsius $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {\frac {A}{z^{n}}}$: erit $(vz)^{n}\equiv A$. Sed expressio $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {\frac {A}{z^{n}}}$ eatenus hac ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ simplicior, quod $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ ad exponentem minorem plerumque pertinet quam $A$. Scilicet si numerorum $t$, $q$ divisor communis maximus est $d$, $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ ad exponentem $d$ pertinebit, id quod ita demonstratur. Substitute pro $z$ valore, fit $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}\equiv {\frac {1}{A^{kn-1}}}{\pmod {p}}$. At $kn-1$ per ${\tfrac {p-1}{nq}}$ divisibilis (art. praec), ${\tfrac {p-1}{n}}$ vero per $t$ (ibid.) sive ${\tfrac {p-1}{nd}}$ per ${\tfrac {t}{d}}$. Atqui ${\tfrac {t}{d}}$ ad ${\tfrac {q}{d}}$ est primus (hyp.), quare etiam ${\tfrac {p-1}{nd}}$ per ${\tfrac {tq}{dd}}$ sive ${\tfrac {p-1}{nq}}$ per ${\tfrac {t}{d}}$, adeoque etiam $kn-1$ per ${\tfrac {t}{d}}$ et $(kn-1)d$ per $t$ erit divisibilis. Hinc $\textstyle A^{(kn-1)d}\equiv 1{\pmod {p}}$. Unde facile deducitur, ${\tfrac {A}{z^{n}}}$ ad potestatem $d\,$^tam evectum unitati congruum fieri. Quod vero ${\tfrac {A}{z^{n}}}$ ad exponentem minorem quam $d$ pertinere non possit, facile quidem demonstrari potest, sed quoniam ad finem nostrum non requiritur, huic rei non immoramur. Certi igitur esse possumus, $\textstyle {\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ semper ad minorem exponentem pertinere quam $A$, unico excepto casu, scilicet quando $t$ ipsum $q$ metitur, adeoque $d=t$.

Sed quid iuvat, quod ${\tfrac {A}{z^{n}}}$ ad minorem exponentem pertinet quam $A$? Plures numeri dantur, qui possunt esse $A$, quam qui possunt esse ${\tfrac {A}{z^{n}}}$, et quando secundum eundem modulum plures huiusmodi expressiones ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ evolvere occasio est, id lucramur, ut plures ex eodem fonte haurire possimus. Ita ex. gr. semper unicum saltem valorem expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {29}}$ determinare in potestate erit,