Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/76

66

de residuis potestatum.

metiatur. Tum congruentia $x^{t}\equiv 1$ secundum modulum $p$ habebit $k$ radices diversas, quibus per $A$, $B$, $C$ etc. designatis, radix quaecunque eiusdem congruentiae secundum modulum $p^{n}\!$ congrua esse debet secundum modulum $p$ alicui numerorum $A$, $B$, $C$ etc. Iam demonstrabimus, congruentiam $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ habere $p^{\nu }\!$ radices ipsi $A$, totidem ipsi $B$ etc. congruas secundum modulum $p$. Quo facto omnium radicum numerus erit $kp^{\nu }\!$ sive $e$, uti diximus. Illam vero demonstrationem ita adornabimus, ut primo ostendamus, si $\alpha$ fuerit radix ipsi $A$ secundum modulum $p$ congrua, etiam $\alpha +p^{n-\nu },\alpha +2p^{n-\nu },\alpha +3p^{n-\nu },\ldots \alpha +(p^{\nu }-1)p^{n-\nu }$ fore radices; secundo, numeros ipsi $A$ secundum modulum $p$ congruos alios quam qui in forma $\alpha +hp^{n-\nu }\!$ sint comprehensi (denotante $h$ integrum quemcunque), radices esse non posse: unde manifesto $p^{\nu }\!$ radices diversae habebuntur, et non plures: atque idem etiam de radicibus, quae singulis $B$, $C$ etc. sunt congruae, locum habebit: tertio docebimus, quomodo semper radix, ipsi $A$ secundum $p$ congrua, inveniri possit.

86.

Theorema. Si uti in art. praec. $t$ est numerus per $p^{\nu }\!$, neque vero per $p^{\nu +1}$ divisibilis, erit $\textstyle (\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}\equiv 0{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$, at $\textstyle \equiv \alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +\nu +1}}}$

Theorematis pars posterior locum non habet, quando $p=2$ simulque $\mu =1$.

Demonstratio huius theorematis ex evolutione potestatis binomii peti posset, si ostenderetur omnes terminos post secundum per $p^{\mu +\nu +1}\!$ divisibiles esse. Sed quoniam consideratio denominatorum coëfficientium in aliquot ambages deducit, methodum sequentem praeferimus.

Ponamus primo $\mu >1$ atque $\nu =1$, eritque propter ${\begin{aligned}x^{t}-y^{t}=&\ \ (x-y)(x^{t-1}+x^{t-2}y+x^{t-3}y^{2}+\mathrm {etc.} +y^{t-1})\\(\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}=&\ \ hp^{\mu }((\alpha +hp^{\mu })^{t-1}+(\alpha +hp^{\mu })^{t-1}\alpha +\mathrm {etc.} +\alpha ^{t-1})\end{aligned}}$ At est $\textstyle \alpha +hp^{\mu }\equiv \alpha {\pmod {p^{2}}}$