Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/75

65

moduli qui sunt numerorum primorim potestates.

83.

Propositiones artt. 45 — 48 generaliter iam sunt demonstratae. At prop. art. 49 ita immutari debet:

Si $f$ designat, quot numeri dentur ad $m$ primi simul ipso $m$ minores, i. e. si $f=\phi m$ (art. 38): exponens $t$ infimae potestatis numeri dati $a$ ad $m$ primi, quae secundum modulum $m$ unitati est congrua, vel erit $=f$ vel pars aliquota huius numeri.

Demonstratio prop. art. 49 etiam pro hoc casu valere potest, si modo ubique loco ipsius $p$, $m$, loco ipsius $p-1$, $f$, et loco numerorum $1,2,3,\dots p-1$, numeri ad $m$ primi simulque ipso $m$ minores substituantur. Huc itaque lectorem ablegamus, Ceterum demonstrationes reliquae de quibus illic locuti sumus (artt. 50, 51), non sine multis ambagibus ad hunc casum applicari possunt. — At respectu propositionum sequentium, art. 52 sqq. magna differentia incipit inter modulos, qui numerorum primorum sunt potestates, eosque, qui per plures numeros primos dividi possunt. Seorsim itaque modulos prioris generis contemplabimur.

84.

Si modulus $m=p^n$, designante $p$ numerum primum, erit $f=p^{n-1}(p-1)$ (art. 38). Iam si disquisitiones in artt. 53, 54 contentae ad hunc casum applicantur, mutatis mutandis uti in art. praec. praescripsimus, invenietur, omnia quae ibi demonstrata sunt etiam pro hoc casu locum habere, si modo ante probatum esset, congruentiam formae $x^t-1\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^n)$ plures quam $t$ radices diversas habere non posse. Pro modulo primo hanc veritatem ex propositione generaliori art. 43 deduximus, quae autem in omni sua extensione de modulis primis tantummodo valet, neque adeo ad hunc casum applicanda. Attamen propositionem pro hoc casu particulari veram esse, per methodum singularem demonstrabimus. Infra (sect. VIII) idem facilius invenire docebimus.

85.

Demonstrandum proponimus nobis hoc theorema:

Si numerorum $t$ et $p^{n-1}(p-1)$ divisor communis maximus est $e$, congruentia $x^t\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^n)$ habebit $e$ radices diversas.

Sit $e=k{p}^{\nu }$ ita ut $k$ factorem $p$ non involvat, adeoque numerum $p-1$

I. 9