Pagina:Principia newton la.djvu/138

PF ipsi PE æqualis, & erigatur Normalis FK, quæ sit ut vis qua punctum E trahit corpusculum P. Sitq; IKL curva linea quam punctum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in L. In PA capiatur PH æqualis PD, & erigatur perpendiculum HI curvæ prædictæ occurrens in I; & erit corpusculi P attractio in circulum ut area AHIL ducta in altitudinem AP. Q. E. I.

Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur Pf ipsi Pe æqualis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus P versusAestut ${\tfrac {AP\times FK}{PE}}$, & vis qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus & ${\tfrac {AP\times FK}{PE}}$ conjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob proportionales PE & AE, Ee & cE) æquatur rectangulo PE×cE seu PE×Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE×Ff & ${\tfrac {AP\times FK}{PE}}$ conjunctim, id est, ut contentum Ff×AP×FK, sive ut area FKkf ducta in AP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut area tota AHIKL ducta in AP. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum ratione, hoc est, si sit FK ut ${\tfrac {1}{PFquad.}}$, atq; adeo area AHIKL ut ${\tfrac {1}{PA}}$−${\tfrac {1}{PH}}$; erit attractio corpusculi P in circulum 1−${\tfrac {PA}{PH}}$, id est, ut ${\tfrac {AH}{PH}}$.

Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint reciproce ut distantiarum dignitas quælibet Dn, hoc est, si sit FK ut ${\tfrac {1}{D^{n}}}$, adeoq; area AHIKL ut ${\tfrac {1}{PA^{n-1}}}$−${\tfrac {1}{PH^{n-1}}}$; erit attractio corpusculi P in circulum ut ${\tfrac {1}{PA^{n-2}}}$-${\tfrac {PA}{PH^{n-1}}}$.

Corol. 3. Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & numerus n sit unitate major; attractio corpusculi P in planum totum infinitum erit reciproce ut PAⁿ⁻², propterea quod terminus alter ${\tfrac {PA}{PH^{n-1}}}$ evanescet.

Prop. XCI. Prob. XLV.

Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula tendunt vires centripetæ in quacunq; distantiarum ratione decrescentes.

In solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe AB. Circulo quolibet RFS ad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus diametro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per Prop. XC.) longitudo FK vi qua corpusculum P in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem punctum K curvam lineam LKI, planis extimorum circulo rum AL & BI occurrentem in A & B; & erit attractio corpusculi P in solidum ut area LABI. Q. E. D.

Corol. 1. Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo ADEB circa axem AB revoluto descriptus, & vires centripetæ in singula ejus puncta tendentes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio corpusculi P in hunc