DAq. ad APq.+2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.
Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momento respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiæ APq.+2BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad.; & area DTV, (quæ est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q. E. D.
Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq.+2BAP , & si vis gravitatis minor sit quam quæ per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.−BDq. gravitati proportionale, sitque DF ipsi DB perpendicularis & æqualis, & per verticem F describatur Hyperbola FTVE cujus semidiametri conjugatæ sint DB & DF,quæq; secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tempus ascensus futuri ut Hyperbolæ sector TDE.
Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiæ APq.+2ABP & gravitatis ABq.−BDq. id est ut BPq.−BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq.−DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq.−DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq.−BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est. Q.E.D.
Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq.+2ABP resistentia, & DBq.−ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice principali B, describatur Hyperbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V ; erit Hyperbolæ hujus sector DET ut tempus descensus.
Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq.−ABq.−2ABP−APq. seu DBq.−BPq. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoq; ut GTq. seu GDq.−BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq.−BPq. Quare cum area
