Pagina:Principia newton la.djvu/174

DPQ sit ut BDq.−BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q. E. D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.

Prop. XIV. Prob. IV.

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbN K supra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq.+2BAP; assumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis ${\tfrac {APq.+2BAP}{Z}}$; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL æquale ${\tfrac {2APQ+2BA\times PB}{Z}}$ seu ${\tfrac {2BPQ}{Z}}$, & areæ AbNK momentum KLON æquale ${\tfrac {2BPQ\times LO}{Z}}$ seu ${\tfrac {BPQ\times BDcub.}{2Z\times CK\times AB}}$.

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq.+BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quæ gravitati proportionalis est, erit ${\tfrac {ABq.+BDq.}{Z}}$ & DPq. seu APq.+2BAP+ABq.+BDq. erit AK×Z+AC×Z seu CK×Z; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK×Z.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq.−BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit ${\tfrac {ABq.-BDq.}{Z}}$, & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq.−BDq. seu APq.+2BAP+ABq.−BDq. idest ad AK×Z+AC×Z seu CK×Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq.−ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. præced.) æquetur ${\tfrac {BDq.-ABq.}{Z}}$ erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK ×Z: ut supra.

Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD×m, erit area DPQ, id est, ${\tfrac {1}{2}}$BD×PQ; ad BD×m ut CK in Z ad BDq. Atq;inde fit PQ in BDcub. æquale 2BD×m×CK×Z, & areæ AbNK momentum KLON superius inventum, fit