Pagina:Principia newton la.djvu/186

Prop. XXII. Theor. XVI.

Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiæ sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione Geometrica.

Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quæ sint ut Fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravitates specificæ in iisdem locis erunt ${\tfrac {AH}{SAq.}}$, ${\tfrac {BI}{SBq.}}$, ${\tfrac {CK}{SCq.}}$, &c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B,secundam a B ad C,tertiam a C ad D,&c. Et hæductæ in altitudines AB, BC, CD, DE, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes pressionum ${\tfrac {AH}{SA}}$, ${\tfrac {BI}{SB}}$, ${\tfrac {CK}{SC}}$, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summæ, differentiæ densitatum AH−BI, BI−CK, &c. erunt ut summarum differentiæ ${\tfrac {AH}{SA}}$, ${\tfrac {BI}{SB}}$, ${\tfrac {CK}{SC}}$, &c. Centro S Asymptotis SA, SX describatur Hyperbola quævis, quæ secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c; ut & perpendicula ad Asymptoton SX demissa Ht, Iu, Kw in h, i, k; & densitatum differentiæ tu, uw, &c. erunt ut ${\tfrac {AH}{SA}}$, ${\tfrac {BI}{SB}}$, &c. Et rectangula tu×th, uw×ui, &c. seu tp, uq, &c. ut ${\tfrac {AH\times th}{SA}}$ ut ${\tfrac {BI\times ui}{SB}}$, &c. id est ut Aa, Bb &c. Est enim ex natura Hyperbolæ SA ad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque ${\tfrac {AH\times th}{SA}}$ æquale Aa. Et simili argumento est ${\tfrac {BI\times ui}{SB}}$ æqualis Bb, &c. Sunt autem Aa, Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis suis Aa−Bb, Bb−Cc, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis differentiarum Aa−Cc vel Aa−Dd summæ rectangulorum tp+uq, vel tp+uq+wr. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa−Ff, erit summæ omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiæ punctorum A, B, C, &c. in infinitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæ zthn, adeoque huic areæ pro portionalis est differentia Aa−Ff. Sumantur jam distantiæ quælibet, puta SA, SD, SF in Progressione Musica, & differentiæ Aa−Dd, Dd−Ff erunt æquales; & propterea differentiis hisce proportionales areæ thlx, xlnz æquales erunt in ter se, & densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL, FN, continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si dentur Fluidi densitates duæ quævis, puta AH & CK, dabitur area thkw harum differentiæ tw respondens; & inde invenietur densitas FN in altitudine quacunque SF, sumendo aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia Aa−Ff ad differentiam Aa−Cc.