Pagina:Principia newton la.djvu/212

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datæ, & fingamus quod differentia arcuum sit AV+BV^3/2+CV². Et cum velocitates maximæ in prædictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum 1${\tfrac {7}{8}}$, 3${\tfrac {3}{4}}$, 7${\tfrac {1}{2}}$, 15, 30, 60 chordæ, atque adeo ut arcus ipsi quamproxime, hoc est ut numeri ${\tfrac {1}{2}}$, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Cas. secundo quarto & sexto numeros 1, 4, & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia ${\tfrac {1}{242}}$ æqualis A+B+C in Cas. secundo; & ${\tfrac {2}{35{\tfrac {1}{2}}}}$ æqualis 4A+8B+16C in casu quarto; & ${\tfrac {8}{9{\tfrac {2}{3}}}}$ æqualis 16A+64B+256C in casu sexto. Unde si per has æquationes determinemus quantitates A, B, C; habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate quacunque data.

Cæterum cum velocitates maximæ sint in Cycloide ut arcus oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordæ, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tempora autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resistentia in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; & diminui in ratione chordæ ad arcum, ob tempus (seu durationem resistentiæ qua arcuum differentia prædicta generatur) diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjungamus) debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter. Hæc ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto 12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia ${\tfrac {1}{242}}$, ${\tfrac {2}{35{\tfrac {1}{2}}}}$, & ${\tfrac {8}{9{\tfrac {2}{3}}}}$ evadunt ${\tfrac {6283}{6279\times 242}}$, ${\tfrac {25132}{12533\times 35{\tfrac {1}{2}}}}$ & ${\tfrac {201056}{24869\times 9{\tfrac {2}{3}}}}$, id est in numeris decimalibus 0,004135, 0,056486 & 0,8363. Unde prodeunt æquationes A+B+C=0,004135: 4A+8B+16C=0,05648 & 16A+64B+256C=0,8363. Et ex his per debitam terminorum collationem & reductionem Analyticam fit A=0,0002097, B=0,0008955 & C=0,0030298. Est igitur differentia arcuum ut 0,0002097V+0,0008955V^3/2+0,0030298V²: & propterea cum per Corol. Prop. xxx. resistentia Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut ${\tfrac {7}{11}}$AV+${\tfrac {16}{23}}$BV^3/2+${\tfrac {3}{4}}$CV² ad longitudinem Penduli; si pro A, B, & C scribantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut 0,0001334V+0,000623V^3/2+0,00227235V² ad longitudinem Penduli inter centrum suspensionis & Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum V in casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resistentia ad pondus Globi in casu secundo ut 0,003029 ad 121, in quarto ut 0,042875 ad 121, in sexto ut 0,63013 ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in Cas. sexto descripsit, erat 120−${\tfrac {8}{9{\tfrac {2}{3}}}}$ seu 119${\tfrac {5}{29}}$ digitorum. Et propterea cum radius esset 121 digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum Globi descripsit erat 124${\tfrac {3}{31}}$ digitorum. Quoniam corporis oscillantis velocitas maxima ob resistentiam Aeris non incidit in punctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: hæc eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum 62${\tfrac {3}{62}}$; idque in Cycloide, ad quam motum penduli supra reduximus: & propterea velocitas illa æqualis erit velocitati quam Globus, perpendiculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem