Pagina:Principia newton la.djvu/37

X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla SP×QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe atq; SP quad. in QT quad. inverse, id est ut ${\tfrac {SP\ quad.\times QT\ quad.}{QR}}$ inverse. Q. E. D.

Corol. Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum ${\tfrac {SP\ quad.\times QT\ quad.}{QR}}$ huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.

Prop. VII. Prob. II.

Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z. Ob similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo ${\tfrac {QRL\times SP\ quad.}{SA\ quad.}}$ æquatur QT quad. Ducantur hæc æqualia in ${\tfrac {SPquad.}{QR}}$, & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL. Sic fiet ${\tfrac {SPqc.}{SAq}}$. æquale ${\tfrac {QTq.\times SPq.}{QR}}$. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut ${\tfrac {SP\ qc.}{SAq.}}$, id est (ob datum SA quad.) ut quadrato cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.

Prop. VIII. Prob. III.

Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes PS, RS ad id ductæ, pro parallelis haberi possint.

A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut P Qq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR×RN+QN æquale est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P, Q fit RN+QN æqualis 2PM. Ergo est CP quad. ad PMquad. ut QR×2PM ad QT quad. adeoq; ${\tfrac {QT\ quad.}{QR}}$ æquale ${\tfrac {2PM\ cub.}{CPquad.}}$, & ${\tfrac {QT\ quad.\times SP\ quad.}{QR}}$ æquale ${\tfrac {2PM\ cub.\times SPquad.}{CPquad.}}$ Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut ${\tfrac {2PM\ cub.\times SPquad.}{CPquad.}}$ hoc est (neglecta ratione determinata ${\tfrac {2SP\ quad.}{CP\ quad.}}$ ) reciproce ut PMcub. Q.E.I.