Pagina:Principia newton la.djvu/37

Haec pagina emendata est

X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla SP×QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe atq; SP quad. in QT quad. inverse, id est ut $\frac{S P q u a d . \times Q T q u a d .}{Q R}$ inverse. Q. E. D.

Corol. Hinc si detur ﬁgura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in ﬁguræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum $\frac{S P q u a d . \times Q T q u a d .}{Q R}$ huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.

Prop. VII. Prob. II.

Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z. Ob similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo $\frac{Q R L \times S P q u a d .}{S A q u a d .}$ æquatur QT quad. Ducantur hæc æqualia in $\frac{S P q u a d .}{Q R}$ , & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL. Sic ﬁet $\frac{S P q c .}{S A q}$ . æquale $\frac{Q T q . \times S P q .}{Q R}$ . Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut $\frac{S P q c .}{S A q .}$ , id est (ob datum SA quad.) ut quadrato cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.

Prop. VIII. Prob. III.

Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc eﬀectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes PS, RS ad id ductæ, pro parallelis haberi possint.

A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut P Qq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR×RN+QN æquale est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P, Q ﬁt RN+QN æqualis 2PM. Ergo est CP quad. ad PMquad. ut QR×2PM ad QT quad. adeoq; $\frac{Q T q u a d .}{Q R}$ æquale $\frac{2 P M c u b .}{C P q u a d .}$ , & $\frac{Q T q u a d . \times S P q u a d .}{Q R}$ æquale $\frac{2 P M c u b . \times S P q u a d .}{C P q u a d .}$ Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut $\frac{2 P M c u b . \times S P q u a d .}{C P q u a d .}$ hoc est (neglecta ratione determinata $\frac{2 S P q u a d .}{C P q u a d .}$ ) reciproce ut PMcub. Q.E.I.