Sunto CA, CB semi axes Hyperbolæ; PG, KD diametri conjugatæ; PF, Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP. Agatur SP secans tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur parallelogrammum QRPx. Patet EP æqualem esse semi axi transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob æquales CS, CH, æquentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos æquales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2AC adæquat. Ad SP demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolæ latere recto principali (seu )dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L×Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq. ad CDq.; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq., punctis Q & P coeuntibus fit ratio æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq., id est ut CAq. ad PFq., sive(per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq.: & conjunctis his omnibus rationibus L×QR fit ad QTq. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq. ad CDq.+CDq. ad CBq.: id est ut AC×L (seu 2BCq.)×PCq. ad PC×Gv×CB quad. sive ut 2PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionalia L×QR & QTq. æquantur. Ducantur hæc æqualia in &fiet L×SPq. æquale . Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq. id est in ratione duplicata distantiæ SP. Q. E. I.
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.
Lemma XIII.
Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum dis tantiæ verticis illius ab umbilico figuræ. Patet ex Conicis.
Lemma XIV.
Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figuræ.
