Pagina:Principia newton la.djvu/42

Haec pagina emendata est

Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, P punctum contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum principalem, PM tangens diametro principali occurrens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur AN, & ob æquales MS & SP, MN & NP, MA & AO, parallelæ erunt rectæ AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A & simile triangulis æqualibus SMN, SPN. Ergo PS est ad SN ut SN ad SA. Q.E.D.

Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quæ ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quæ Parabolam tangit in vertice principali.

Prop. XIII. Prob. VIII.

Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum hujus ﬁguræ.

Maneat constructio Lemmatis, sitq; P corpus in perimetro Parabolæ, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangentiparallelam & occurrentem tum diametro YPG in v, tum distantiæ SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP & æqualia unius latera SM, SP, æqualia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ Qv æquale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4PS×Pv seu 4PS×QR; & punctis P & Q coeuntibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) ﬁt æqualitatis. Ergo Qxq. eo in casu, æquale est rectangulo 4PS×QR. Est autem (ob æquales angulos QxT, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I.Lem.XIV.) ut PS ad AS,id est ut 4PS×QR ad 4AS×QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V. Elem.) QTq. & 4AS×QR æquantur. Ducantur hæc æqualia in ${\tfrac {SPq.}{QR}}$ , & ﬁet ${\tfrac {SPq.\times QTq.}{QR}}$ æquale SPq.×4AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce ut SPq.×4AS, id est, ob datam 4AS, reciproce in duplicata ratione distantiæ SP. Q. E. I.

Corol. I. Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacunq; cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quæ sit reciproce proportionalis quadrato