Cas. 3. Ponamus deniq; lineas quatuor PQ, PR, PS, PT non esse parallelas lateribus AC, AB, sed ad ea utcunq; inclinatas. Earum vice age Pq, Pr paralle las ipsi AC; & Ps, Pt parallelalipsi AB; & propter datos angulos triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur rationes PQ ad Pq, PR ad Pr, PS ad Ps & PT ad Pt, atq; adeo rationes compositæ PQ in PR ad Pq in Pr, & PS in PT ad Ps in Pt. Sed per superius demonstrata, ratio Pq in Pr ad Ps in Pt data est: Ergo & ratio PQ in PR ad PS in PT. Q.E.D.
Lemma XVIII.
Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Trapezii PQ×PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS×PT in data ratione; punctum P, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.
Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum P hanc semper tangere. Si negas, junge AP secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in P si fieri potest, puta in b. Ergo si ab his punctis p & b ducantur in datis angulis ad latera Trapezii rectæ pq, pr, ps, pt & bk, br, bR, bd; erit ut bk×br ad bd×bR ita (per Lemma XVII) pq×pr ad ps×pt & ita (per hypoth.) PQ×PR ad PS×PT. Est & propter similitudinem Trapeziorum bkAR, PQAS, ut bk ad bR ita PQ ad PS. Quare applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus, erit br ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia æquiangula Drbd, DRPT similia sunt, & eorum diagonales Db, DP propterea coincidunt. Incidit itaq; b in intersectionem rectarum AP, DP adeoq; coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicunq; sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem. Q. E. D.
Corol. Hinc si rectæ tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulæ ad singulas, in datis angulis ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ×PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum P, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in sectione Conica quæ tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS×PT evadet PS quad. rectæq; AB, CD quæ curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.
