Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data, adeoq; punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, P, C. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Conicæ sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum aliquod D.
Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per quinq; puncta A, B, C, D, P, easq; secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invicem æquantur, contra Hypothesin.
Lemma XXI.
Si recta duæ mobiles & infinitæ BM, CM per data puncta B, C, ceu polos ductæ, concursu suo M describant tertiam positione datam rectam MN; & aliæ duæ infinitæ rectæ BD, CD cum prioribus duabus ad puncta illa data B, C, datos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hæ duæ BD, CD concursu suo D describent sectionem Conicam. Et vice versa, si rectæ BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A, cum alteræ duæ BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M continget rectam positione datam.
Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immotum P. Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, & facientes angulum BPT æqualem angulo BNM & angulum CPR æqualem angulo CNM. Cum ergo (ex Hypothesi) æquales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer communes NBD & MCP, & restabunt æquales NBM & PBT, NCM & PCR: adeoq; trian gula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX,
