Pagina:Principia newton la.djvu/92

imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati ${\tfrac {bA^{m}+cA^{n}}{Acub.}}$ proportionali describit, æqualis angulo graduum 180${\sqrt {\tfrac {b+c}{mb+nc}}}$. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut ${\tfrac {bA^{m}-cA^{n}}{Acub.}}$, angulus inter Apsides invenietur 180${\sqrt {\tfrac {b-c}{mb-nc}}}$ graduum. Nec secus resolvetur Problema in casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponendæ sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendoq; unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa $A^{\tfrac {nn}{mm}}-3$, cujus Index est ${\tfrac {nn}{mm}}-3$. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens deq; Apside discedens, si cæperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem minimam, sed descendet usq; ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq; sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1${\tfrac {1}{2}}$ de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1${\tfrac {1}{2}}$ ad 1, adeoq; ${\tfrac {nn}{mm}}$ −3 ualeat ${\tfrac {1}{64}}$−3 vel ${\tfrac {1}{16}}$−3 vel ${\tfrac {1}{4}}$−3 vel ${\tfrac {4}{9}}$−3, erit vis ut $A^{\tfrac {1}{64}}$−3 vel $A^{\tfrac {1}{16}}-3$ vel $A^{\tfrac {1}{4}}-3$ vel $A^{\tfrac {4}{9}}-3$, id est reciproce ut $A^{3-{\tfrac {1}{64}}}$ vel $A^{3-{\tfrac {1}{16}}}$ vel $A^{3-{\tfrac {1}{4}}}$ vel $A^{3-{\tfrac {4}{9}}}$. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; $A^{{\tfrac {nn}{mm}}-3}$ æqualis $A^{-2}$ seu ${\tfrac {1}{A^{2}}}$, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut ${\tfrac {3}{4}}$ vel ${\tfrac {2}{3}}$ vel ${\tfrac {1}{3}}$ vel ${\tfrac {1}{4}}$ ad 1, adeoq; $A^{{\tfrac {nn}{mm}}-3}$ æqualis $A^{\tfrac {16}{9}}-3$ vel $A^{\tfrac {9}{4}}-3$ vel $A^{9-3}$ vel $A^{16-3}$ & propterea Vis aut reciproce ut $A^{\tfrac {11}{9}}$ vel $A^{\tfrac {3}{4}}$, aut directe ut $A^{6}$ vel $A^{13}$. Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus