Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/33

rorum $k$, $n$. In casu nostro, ubi $k$ et $n$ supponuntur inter se primi, $r$ commode dici potest radix propria aequationis $x^n-1=0$: contra in casu altero, ubi $k$ et $n$ haberent divisorem communem (maximum) $\nu$, $r$ vocaretur radix impropria illius aequationis, manifesto autem tunc eadem $r$ foret radix propria aequationis $x^{\frac{n}{\nu }}-1=0$. Radix impropria simplicissima est unitas, in eoque casu, ubi $n$ est numerus primus, impropriae aliae omnino non dabuntur.

12.

Quodsi iam statuimus $$W=1+r+r^4+r^9+\text{etc.}+r^{(n-1{)}^2}$$ patet fieri $W=T+iU$, adeoque $T$ esse partem realem ipsius $W$, atque $U$ prodire ex parte imaginaria ipsius $W$ factore $i$ suppresso. Totum itaque negotium reducitur ad inventionem summae $W$: ad hunc finem vel series in art. 6 considerata, vel ea quam in art. 9 summare docuimus, adhiberi potest, prior tamen minus idonea est in casu eo, ubi $n$ est numerus par. Nihilominus lectoribus gratum fore speramus, si casum eum, ubi $n$ impar est, secundum methodum duplicem tractemus.

Supponamus itaque primo, $n$ esse numerum imparem, $r$ designare radicem propriam aequationis $x^n-1=0$ quamcunque, et in functione $f(x,m)$ statui $x=r$, atque $m=n-1$. Hinc patet fieri $$\begin{array}{cccc}& \frac{1-x^m}{1-x}& =\frac{1-r^{-1}}{1-r}& =-r^{-1}\\ & \frac{1-x^{m-1}}{1-xx}& =\frac{1-r^{-2}}{1-rr}& =-r^{-2}\\ & \frac{1-x^{m-2}}{1-x^3}& =\frac{1-r^{-3}}{1-r^3}& =-r^{-3}\text{ etc.}\end{array}$$ usque ad $$\begin{array}{cccc}& \frac{1-x}{1-x^m}& =\frac{1-r^{-m}}{1-r^m}& =-r^{-m}\phantom{\text{etc.}}\end{array}$$ (Haud superfluum erit monere, has aequationes eatenus tantum valere, quatenus $r$ supponitur radix propria: si enim esset $r$ radix impropria, in quibusdam illarum fractionum numerator et denominator simul evanescerent, adeoque fractiones indeterminatae fierent).

Hinc deducimus aequationem sequentem