Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/160

pro $k=\infty ,$ aut si mavis per limitem producti infiniti

${\frac {1}{z+1}}\cdot {\frac {2^{z+1}}{1^{z}(2+z)}}\cdot {\frac {3^{z+1}}{2^{z}(3+z)}}\cdot {\frac {4^{z+1}}{3^{z}(4+z)}}{\text{ etc. }}$

21.

Ex aequatione 41 statim sequitur aequatio fundamentalis

[44]	$\Pi (z+1)=(z+1)\Pi z$

unde generaliter, designante $n$ integrum positivum quemcunque

[45]	$\Pi (z+n)=(z+1)(z+2)(z+3)\ldots \ldots (z+n)\Pi z$

Pro valore integro negativo ipsius $z$ erit valor functionis $\Pi z$ infinite magnus; pro valoribus integris non negativis habemus

${\begin{aligned}&\Pi \,0=1\\&\Pi \,1=1\\&\Pi \,2=2\\&\Pi \,3=6\\&\Pi \,4=24{\text{ etc.}}\end{aligned}}$

atque generaliter

[46]

$\Pi z=1.2.3\ldots z$

Sed male haec proprietas functionis nostrae tamquam ipsius definitio venditaretur, quippe quae natura sua ad valores integros restringitur, et praeter functionem nostram infinitis aliis (e.g. $\cos 2\pi z.\Pi z,$ $\cos \pi z^{2n}\Pi z$ etc., denotante $\pi$ semiperipheriam circuli, cuius radius $=1$) communis est.

22.

Functio $\Pi (k,z),$ etiamsi generalior videatur quam $\Pi z,$ tamen abhinc nobis superflua erit, quum facile ad posteriorem reducatur. Colligitur enim e combinatione aequationum 38, 45, 46.

[47]	$\Pi (k,z)={\frac {k^{z}\Pi k.\Pi z}{\Pi (k+z)}}$

Ceterum nexus harum functionum cum is, quas clar. Kramp facultates nu-