Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/19

6.

Quae contra demonstrationem d'Alembertianam obiici posse videntur, ad haec fere redeunt.

1. Ill. d'A. nullum dubium movet de existentia valorum ipsius $x$, quibus valores dati ipsius $X$ respondeant, sed illam supponit, solamque formam istorum valorum investigat.

Quamvis vero haec obiectio per se gravissima sit, tamen hic ad solam dictionis formam pertinet, quae facile ita corrigi potest, ut illa penitus destruatur.

2. Assertio, $\omega$ per talem seriem qualem ponit semper exprimi posse, certo est falsa, si $X$ etiam functionem quamlibet transscendentem designare debet (uti d'A. pluribus locis innuit). Hoc e.g. manifestum est, si ponitur $X=e^{\frac {1}{x}}$, sive $X={\frac {1}{\log X}}$. Attamen si demonstrationem ad eum casum restringimus, ubi X est functio algebraica ipsius $x$ (quod in praesenti negotio sufficit), propositio utique est vera. Ceterum d'A. nihil pro confirmatione suppositionis suae attulit; cel. Bougainville supponit, $X$ esse functionem algebraicam ipsius $x$, et ad inventionem seriei parallelogrammum Newtonianum commendat.

3. Quantitatibus infinite parvis liberius utitur, quam cum geometrico rigore consistere potest aut saltem nostra aetate (ubi illae merito male audiunt) ab analysta scrupuloso concederetur, neque etiam saltum a valore infinite parvo ipsius $\Omega$ ad finitum satis luculenter explicavit. Propositionem suam, $\Omega$ etiam valorem aliquem finitum consequi posse, non tam ex possibilitate valoris infinite parvi ipsius $\Omega$ concludere videtur quam inde potius, quod denotante $\Omega$ quantitatem valde parvam, propter magnam seriei convergentiam, quo plures termini seriei accipiantur, eo propius ad valorem verum ipsius $\omega$ accedatur, aut, quo plurium partium summa pro $\omega$ accipiatur, eo exactius aequationi, quae relationem inter $\omega$ et $\Omega$ sive $x$ et $X$ exhibeat, satisfactum iri. Praeterea quod tota haec argumentatio nimis vaga videtur, quam ut ulla conclusio rigorosa inde colligi possit: observo, utique dari series, quae quantumvis parvus valor quantitati,

tricas adhibuisse, atque $X$ tamquam abscissam, $x$ tamquam ordinatam curvae spectavisse (secundum morem omnium geometrarum primae huius saeculi partis, apud quos notio functionum minus usitata erat). Quia vero omnia ipsius ratiocinia, si ad ipsorum essentiam solam respicis, nuUis principiis geometricis, sed pure analyticis innituntur, et curva imaginaria, ordinataeque imaginariae expressiones duriores esse lectoremque hodiernum facilius offendere posse videntur, formam repraesentationis mere analyticam hic adhibere malui. Hanc annotationem ideo adieci, ne quis demonstrationem d'Alembertianam ipsam cum hac succincta expositione comparans aliquid essentiale immutatum esse suspicetur.