Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/20

secundum cuius potestates progrediuntur, tribuatur, nihilominus semper divergant, ita ut si modo satis longe continuentur, ad terminos quavis quantitate data maiores pervenire possis ^[1]. Hoc evenit, quando coëfficientes seriei progressionem hypergeometricam constituunt. Quamobrem necessario demonstrari debuisset, talem seriem hypergeometricam in casu praesenti provenire non posse.

Ceterum mihi videtur, ill. d'A. hic non recte ad series infinitas confugisse, hasque ad stabiliendum theorema hoc fundamentale doctrinae aequationum haud idoneas esse.

4. Ex suppositione, $X$ obtinere posse valorem $S$ neque vero valorem $U$, nondum sequitur, inter $S$ et $U$ necessario valorem $T$ iacere, quem $X$ attingere sed non superare possit. Superest adhuc alius casus: scilicet fieri posset, ut inter $S$ et $U$ limes situs sit, ad quem accedere quidem quam prope velis possit $X$, ipsum vero nihilominus numquam attingere. Ex argumentis ab ill. d'A. allatis tantummodo sequitur, $X$ omnem valorem, quem attigerit, adhuc quantitate finita superare posse, puta quando evaserit $=S$, adhuc quantitate aliqua finita $\Omega$ augeri posse; quo facto, novum incrementum $\Omega '$ accedere, tunc iterum augmentum $\Omega ''$ etc., ita ut quotcunque incrementa iam adiecta sint, nullum pro ultimo haberi debeat, sed semper aliquod novum accedere possit. At quamvis multitudo incrementorum possibilium nullis limitibus sit circumscripta: tamen utique fieri posset, ut si incrementa $\Omega$, $\Omega '$, $\Omega ''$ etc. continuo decrescerent, nihilominus summa $S+\Omega +\Omega '+\Omega ''$ etc. limitem aliquem nunquam attingeret, quotcunque termini considerentur.

Quamquam hic casus occurrere non potest, quando $X$ designat functionem algebraicam integram ipsius $x$: tamen sine demonstratione, hoc fieri non posse, mefhodus necessario pro incompleta habenda est. Quando vero $X$ est functio transscendens, sive etiam algebraica fracta, casus ille utique locum habere potest, e.g. semper quando valori cuidam ipsius $X$ valor infinite magnus ipsius $x$ respon-

1. Hacce occasione obiter adnoto, ex harum serierum numero plurimas esse, quae primo aspectu maxime convergentes videantur, e.g. ad maximam partem eas, quibus ill. Euler in parte poster. Inst. Calc. Diff. Cap. VI. ad summam aliarum serierum quam proxime assignandam utitur p. 441-474 (reliquae enim series p. 475—478 revera convergere possunt), quod, quantum scio, a nemine hucusque observatum est. Quocirca magnopere optandum esset, ut dilucide et rigorose ostenderetur, cur huiusmodi series, quae primo citissime, dein paullatim lentius lentiusque convergunt, tandemque magis magisque divergunt, nihilominus summam proxime veram suppeditent, si modo non nimis multi termini capiantur, et quousque talis summa pro exacta tuto haberi possit?