Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/206

Termini huius aequationis ad laevam manifesto constituunt functionem integram ipsius ${\textstyle u{:}}$ itaque necessario in parte ad dextram coëfficientes potestatum ipsius ${\textstyle u}$ cum exponentibus negativis sese destruere debent.

Sed ${\textstyle {\frac {\operatorname {d} {\frac {U^{\prime \prime }}{U}}}{\operatorname {d} u}}}$ producit seriem infinitam incipientem a termino

$$-\left({\frac {1.2.3.4\ldots (n+1)}{1.3.5.7\ldots .(2n+1)}}\right)^{2}u^{-(2n+4)}$$

qua igitur per ${\textstyle (uu-1)UU}$ multiplicata nihil aliud prodire poterit nisi quantitas constans

$$-\left({\frac {1.2.3.4\ldots (n+1)}{1.3.5.7\ldots (2n+1)}}\right)^{2}$$

Hinc colligimus^[1]

$$(uu-1)U^{\prime }{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} u}}+\left({\frac {1.2.3.4\ldots .(n+1)}{1.3.5.7\ldots (2n+1)}}\right)^{2}$$

divisibilem esse per ${\textstyle U,}$ quamobrem functioni fractae ${\textstyle {\frac {U^{\prime }}{({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} u}})}},}$ quae coëfficientes ${\textstyle {R},{R}^{\prime },{R}^{\prime \prime }}$ etc. suggerit, aequivalebit functio integra

$$-\left({\frac {1.3.5.7\ldots (2n+1)}{1.2.3.4\ldots (n+1)}}U^{\prime }\right)^{2}.(uu-1)$$

Loco huius functionis, quae est ordinis ${\textstyle 2n+2,}$ manifestoque solas potestates pares ipsius ${\textstyle u}$ implicat, adoptari poterit residuum ex eius divisione per ${\textstyle U}$ ortum, quod erit ordinis ${\textstyle n,}$ seu ${\textstyle n-1,}$ prout ${\textstyle n}$ par est seu impar. Si vero in casu priori coëfficientem eum, qui respondet radici ${\textstyle u=0,}$ excludere malumus, loco illius functionis eius residuum ex divisione per ${\textstyle {\frac {U}{u}}}$ ortum adoptabimus, quod tantummodo ad ordinem ${\textstyle n-2}$ ascendet.

22.

Ut praesto sint, quae ad applicationem methodi hucusque expositae requiruntur, adiungere visum est, pro valoribus successivis numeri ${\textstyle n,}$ valores numericos tum quantitatum ${\textstyle a,}$ ${\textstyle a^{\prime },}$ ${\textstyle a^{\prime \prime }}$ etc., tum coëfficientium ${\textstyle {R},}$ ${\textstyle {R}^{\prime },}$ ${\textstyle {R}^{\prime \prime }}$ etc. ad sedecim figuras computatos, una cum horum logarithmis ad decem figuras.

1. Simul hinc, petitur demonstratio, quod ${\textstyle U}$ cum ${\textstyle {\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} u}}}$ divisorem indeterminatum communem habere nequit, neque adeo aequatio ${\textstyle U=0}$ radices aequales.