Disquisitiones arithmeticae/Sectio tertia

E Wikisource
Sectio tertia
1801

editio: ex opera omnia, Gottinga, 1870; Ernst Christian Julius Schering recensuit
fons: librum vide


SECTIO TERTIA


DE

RESIDUIS POTESTATUM.





Residua terminorum progressionis geometricae ab unitate incipientis constituunt seriem periodicam.
45.

Theorema. In omni progressione geometrica etc. praeter primum , alius adhuc datur terminus , secundum modulum ad primum unitati congruus, cuius eocponens .

Demonstr. Quoniam modulus ad , adeoque ad quamvis ipsius potestatem est primus, nullus progressionis terminus erit , sed quivis alicui ex his numeris congruus. Quorum multitudo quum sit , manifestum est, si plures quam progressionis termini considerentur, omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter terminos bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque et , fietque dividendo per (art. 22), ubi , et . Q. E. D.

Ex. In progressione etc. terminus primus, qui secundum modulum unitati est congruus, invenitur . At secundum modulum in eadem progressione fit . Similiter numeri potestas sexta, , unitati congrua secundum modulum , quinta vero, , secundum . In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam unitati congrua evadit, in aliis contra usque ad potestatem tum ascendere necesse est.

46.

Quando progressio ultra terminum, qui unitati est congruus, continuatur, eadem, quae ab initio habebantur, residua prodeunt iterum. Scilicet si , erit , etc., donec ad terminum perveniatur, cuius residuum minimum iterum erit , atque residuorum periodum denuo inchoat. Habetur itaque periodus residua comprehendens, quae simulac finita est ab initio semper repetitur; neque alia residua quam quae in hac periodo continentur, in tota progressione occurrere possunt. Generaliter erit , et , id quod per designationem nostram ita exhibetur:

Si , erit .


47.

Petitur ex hoc theoremate compendium potestatum quantumvis magno exponente affectarum residua expedite inveniendi, simulac potestas unitati congrua innotescat. Si ex. gr. residuum e divisione potestatis per oriundum quaeritur, erit propter , ; quare quum sit , erit .


48.

Quando est infima potestas unitati congrua (praeter , ad quem casum hic non respicimus), illi termini, residuorum periodum constituentes omnes erunt diversi, uti ex demonstratione art. 45 nullo negotio perspicitur. Tum autem propositio art. 46 converti potest; scilicet si , erit . Si enim , secundum modulum incongrui essent, residua eorum minima , diversa forent. At , , quare i. e. non omnes potestates infra incongruae forent contra hypoth.

Si itaque , erit i. e. per divisibilis.

Hactenus de modulis quibuscunque si modo ad sint primi diximus. Iam modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim consideremus atque huic fundamento investigationem generaliorem postea superstruamus.

Considerantur primo moduli qui sunt numeri primi.
49.

Theorema. Si est numerus primus ipsum non metiens, atque infima ipsius potestas secundum modulum unitati congrua, exponens aut erit aut pars aliquota huius numeri.

Conferantur exempla art. 45.

Demonstr. Quum iam ostensum sit, esse aut , aut , superest, ut in posteriori casu semper ipsius partem aliquotam esse evincatur.

I. Colligantur residua minima positiva omnium horum terminorum , quae per etc. designentur, ita ut sit , , etc. Perspicuum est, haec omnia fore diversa, si enim duo termini , eadem praeberent, foret (supponendo ) atque , Q. E. A. quum nulla inferior potestas quam unitati sit congrua (hyp.). Porro omnes etc. in serie numerorum continentur, quam tamen non exhaurient, quum . Complexum omnium etc. per designabimus. Comprehendet igitur terminos .

II. Accipiatur numerus quicunque ex his , qui in desit. Multiplicetur per omnes etc., sintque residua minima inde oriunda etc., quorum numerus etiam erit . At haec residua tum inter se quam ab omnibus etc. erunt diversa. Si enim prior assertio falsa esset, haberetur adeoque dividendo per , , contra ea quae modo demonstravimus; si vero posterior, haberetur , unde, quando , i. e. alicui ex his etc. congruus contra hyp.; quando vero , sequitur multiplicando per , , sive propter , , quae est eadem absurditas. Designetur complexus omnium etc., quorum multitudo , per , habebunturque iam numeri ex his . Quodsi igitur et omnes hos numeros complectuntur, fit adeoque theorema demonstratum.

III. Si vero aliqui adhuc deficiunt, sit horum aliquis . Per hunc multiplicentur omnes etc., productorumque residua minima sint etc., omnium complexus per designetur. igitur comprehendet numeros ex his , qui omnes tum inter se quam a numeris in et contentis erunt diversi. Assertiones priores eodem modo demonstrantur ut in II, tertia ita. Si esset , fieret , aut prout aut , in utroque casu alicui ex congrua contra hyp. Habentur igitur numeri ex his , atque si nulli amplius desunt, fiet , adeoque theorema erit demonstratura.

IV. Si vero etiamnum aliqui desunt, eodem modo ad quartum numerorum complexum progrediendum erit etc. Patet vero, quoniam numerorum multitudo est finita, tandem eam exhaustum iri, adeoque multiplum ipsius fore: quare erit pars aliquota numeri . Q. E. D.


Fermatii Theorema.
50.

Quum igitur sit integer, sequitur evehendo utramque partem congruentiae ad potestatem exponentis , , sive semper per divisibilis est, quando est primus ipsum non metiens.

Theorema hoc, quod tum propter elegantiam tum propter eximiam utilitatem omni attentione dignum, ab inventore theorema Fermatianum appellari solet. Vid. Fermatii Opera Mathem. Tolosae 1679 fol. p. 163. Demonstrationem inventor non adiecit, quam tamen in potestate sua esse professus est. Ill. Euler primus demonstrationem publici iuris fecit, in diss. cui titulus Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio, Comm. Acad. Petrop. T. VIII[1]. Innititur ista evolutioni potestatis , ubi ex coëfficientium forma facillime deducitur, semper per fore divisibilem, adeoque per divisibilem fore, quando per sit divisibilis. Iam quia semper per divisibilis est, etiam semper erit; hinc etiam etc. generaliterque . Quodsi itaque ipsum non metitur, etiam per divisibilis erit. Haec sufficient ad methodi indolem declarandam. Clar. Lambert similem demonstrationem tradidit in Actis Erudit. 1769 p. 109. Quia vero evolutio potestatis binomii a theoria numerorum satis aliena esse videbatur, aliam demonstrationem ill. Euler investigavit, quae exstat Comment. nov. Petr. T. VII p. 70, atque cum ea quam nos art. praec. exposuimus prorsus convenit. In sequentibus adhuc aliae quaedam se nobis offerent. Hoc loco unam superaddere liceat, quae similibus principiis innititur, uti prima ill. Euleri. Propositio sequens, cuius casus tantum particularis est theorema nostrum, etiam ad alias investigationes infra adhibebitur.


51.

Polynomii potestas ta secundum modulum est siquidem est numerus primus.

Demonstr. Constat potestatem tam polynomii etc. esse compositam e partibus formae etc., ubi etc., et designat, quot modis res, quarum etc. respective sunt etc., permutari possint. At supra art. 41 ostendimus, hunc numerum semper esse per divisibilem, nisi omnes res sint aequales, i. e. nisi aliquis numerorum etc. sit , reliqui vero . Unde sequitur, omnes ipsius etc. partes, praeter has etc., per divisibiles esse; quae igitur, quando de congruentia secundum modulum agitur, tuto omitti poterunt, fietque Q. E. D.

Quodsi iam omnes quantitates etc. ponuntur, numerusque earum fiet , uti in art. praec.


Quot numeris respondeant periodi, in quibus terminorum multitudo est divisor datus numeri .
52.

Quoniam igitur alii numeri quam qui sunt divisores ipsius , nequeunt esse exponentes potestatum infimarum, ad quas evecti numeri aliqui unitati congrui fiunt, quaestio sese offert, num omnes ipsius divisores ad hoc sint idonei, atque, quando omnes numeri per non divisibiles secundum exponentem infimae suae potestatis unitati congruae classificentur, quot ad singulos exponentes sint perventuri. Ubi statim observare convenit, sufficere, si omnes numeri positivi ab usque ad considerentur; manifestum enim est, numeros congruos ad eandem potestatem elevari debere, quo unitati fiant congruae, adeoque numerum quemcunque ad eundem exponentem esse referendum, ad quem residuum suum minimum positivum. Quocirca in id nobis erit incumbendum, ut quomodo hoc respectu numeri inter singulos factores numeri distribuendi sint, eruamus. Brevitatis gratia, si est unus e divisoribus numeri (ad quos etiam et referendi), per designabimus multitudinem numerorum positivorum ipso minorum, quorum potestas est infima unitati congrua.


53.

Quo facilius haec disquisitio intelligi possit, exemplum apponimus. Pro distribuentur numeri inter divisores numeri hoc modo:

In hoc igitur casu fit , , , , , . Ubi exigua attentio docet, totidem ad quemvis exponentem pertinere, quot dentur numeri hoc non maiores ad ipsumque primi, sive esse in hoc certe casu, retento signo art. 39 . Hanc autem observationem generaliter veram esse ita demonstramus.

I. Si numerus aliquis habetur, , ad exponentem pertinens (i. e. cuius potestas unitati congrua, omnes inferiores incongruae), omnes huius potestates sive ipsarum residua minima proprietatem priorem etiam possidebunt (ut potestas ipsarum unitati sit congrua) et quum hoc ita etiam exprimi possit, residua minima numerorum (quae omnia sunt diversa) esse radices congruentiae , haec autem plures quam radices diversas habere nequeat, manifestum est, praeter numerorum residua minima alios numeros inter et incl. non dari, quorum potestas exponentis congruae sint unitati. Hinc patet, omnes numeros ad exponentem pertinentes inter residua minima numerorum reperiri. Quales vero sint, quantaque eorum multitudo, ita definitur. Si est numerus ad primus, omnes potestates ipsius , quarum exponentes , unitati non erunt congrui: esto enim (vid. art. 31) eritque ; quare si potestas ipsius unitati esset congrua atque , foret etiam et hinc contra hyp. Hinc manifestum est, residuum minimum ipsius ad exponentem pertinere. Si vero divisorem aliquem, , cum communem habet, ipsius residuum minimum ad exponentem non pertinet; quoniam tum potestas iam unitati fit congrua (erit enim per divisibilis, sive adeoque ). Hinc colligitur, totidem numeros ad exponentem pertinere, quot numerorum ad sint primi. At memorem esse oportet, hanc conclusionem innixam esse suppositioni, unum numerum iam haberi ad exponentem pertinentem. Quamobrem dubium remanet, fierine possit ut ad aliquem exponentem nullus omnino numerus pertineat; conclusioque eo limitatur, ut sit vel vel .


54.

II. Iam sint omnes divisores numeri hi: etc. eritque, quia omnes numeri inter hos sunt distributi, At in art. 40 demonstravimus esse atque ex art. praec. sequitur, ipsi aut aequalem aut ipso minorem esse, maiorem esse non posse, similiterque de et , etc. Si itaque aliquis terminus ex his etc. termino respondente ex his , esset minor (sive etiam plures), illorum summa summae herum aequalis esse non posset. Unde tandem concludimus, ipsi semper esse aequalem, adeoque a magnitudine ipsius non pendere.


55.

Maximam autem attentionem meretur casus particularis propositionis praecedentis, scilicet semper dari numeros, quorum nulla potestas inferior quam ta unitati congrua, et quidem totidem inter et , quot infra sint numeri ad primi. Cuius theorematis demonstratio quum minime tam obvia sit quam primo aspectu videri possit, propter theorematis dignitatem liceat aliam adhuc adiicere a praecedente aliquantum diversam, quandoquidem methodorum diversitas ad res obscuriores illustrandas plurimum conferre solet. Resolvatur in factores suos primos fiatque etc., designantibus etc. numeros primos inaequales. Tum theorematis demonstrationem per sequentia absolvemus:

I. Semper inveniri posse numerum (aut plures) ad exponentem pertinentem, similiterque numeros etc. ad exponentes etc. respective pertinentes.

II. Productum ex omnibus numeris etc. (sive huius producti residuum minimum) ad exponentem pertinere. Haec autem ita demonstramus.

I. Sit g numerus aliquis ex his , congruentiae non satisfaciens, omnes enim hi numeri congruentiae huic, cuius gradus , satisfacere nequeunt. Tum dico si potestas ta ipsius ponatur , hunc numerum, sive eius residuum minimum ad exponentem pertinere.

Namque patet potestatem tam ipsius congruam fore potestati tae ipsius i. e. unitati, potestas vero ta ipsius congrua erit potestati tae ipsius , i. e. unitati erit incongrua, multoque minus potestates tae etc. ipsius unitati congruae esse possunt. At exponens infimae potestatis ipsius unitati congruae, sive exponens ad quam pertinet , numerum metiri debet (art. 48). Quare quum per alios numeros divisibilis non sit quam per se ipsum, atque per inferiores ipsius potestates, necessario erit exponens ad quem pertinet. Q. E. D. Per similem methodum demonstratur, dari numeros ad exponentes etc. pertinentes.

II. Si supponimus, productum ex omnibus etc. non ad exponentem , sed ad minorem pertinere, ipsum metietur (art. 48), sive erit integer unitate maior. Facile autem perspicitur, hunc quotientem vel esse unum e numeris primis etc. vel saltem per aliquem eorum divisibilem (art. 17), ex. gr. per , de reliquis enim simile est ratiocinium. Metietur itaque ipsum ; quare productum etc. etiam ad potestatem tam elevatum unitati erit congriium (art. 46). Sed perspicuum est singulos etc. (exemto ipso ) ad potestatem tam elevatos unitati congruos fieri, quum exponentes etc., ad quos singuli pertinent, ipsum metiantur. Hinc erit Unde sequitur exponentem, ad quem pertinet, ipsum metiri debere (art. 48), i. e. esse integrum; at integer esse nequit (art. 15). Unde tandem concludere oportet, suppositionem nostram consistere non posse, i. e. productum etc. revera ad exponentem pertinere. Q. E. D.

Demonstratio posterior priori aliquantulum prolixior esse videtur, prior contra posteriori minus directa.


56.

Hoc theorema insigne exemplum suppeditat, quanta circumspectione in theoria numerorum saepenumero opus sit, ne, quae non sunt, pro certi assumamus. Celeb. Lambert in diss. iam supra laudata Acta Erudit. 1769 p. 127 huius propositionis mentionem facit, sed demonstrationis ne necessitatem quidem attigit. Nemo vero demonstrationem tentavit praeter summum Eulerum, Comment. nov. Ac. Petrop. T. XVIII ad annum 1773, Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia p. 85 seqq. vid. imprimis art. 37, ubi de demonstrationis necessitate fusius locutus est. At demonstratio, quam Vir sagacissimus exhibuit, duos defectus habet. Alterum quod art. 31 et sqq. tacite supponit, congruentiam (translatis ratiociniis illic adhibitis in nostra signa) revera radices diversas habere, quamquam ante nihil aliud fuerit demonstratum quam quod plures habere nequeat; alterum, quod formulam art. 34 per inductionem tantummodo deduxit.


Radices primitivae, bases, indices.
57.

Numeros ad exponentem pertinentes radices primitivas cum ill. Eulero vocabimus. Si igitur est radix primitiva, potestatum residua minima omnia erunt diversa; unde facile deducitur, inter haec omnes numeros , qui totidem sunt multitudine quot illa residua minima, reperiri debere: i. e. quemvis numerum per non divisibilem potestati alicui ipsius congruum esse. Insignis haec proprietas permagnae est utilitatis, operationesque arithmeticas, ad congruentias pertinentes, haud parum sublevare potest, simili fere modo, ut logarithmorum introductio operationes arithmeticae vulgaris. Radicem aliquam primitivam, , ad lubitum pro basi adoptabimus, ad quam omnes numeros per non divisibiles referemus, et si fuerit , ipsius indicem vocabimus. Ex. gr. si pro modulo , radix primitiva pro basi assumatur, respondebunt

numeris 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
indices 0. 1. 13. 2. 16. 14. 6. 3. 8. 17. 12. 15. 5. 7. 11. 4. 10. 9.

Ceterum patet, manente basi, cuique numero plures indices convenire, sed hos omnes secundum modulum fore congruos; quamobrem quoties de indicibus sermo erit, qui secundum modulum sunt congrui, pro aequivalentibus habebuntur, simili modo uti numeri ipsi, quando secundum modulum sunt congrui, tamquam aequivalentes spectantur.


Algorithmus indicum.
58.

Theoremata ad indices pertinentia prorsus analoga sunt iis, quae ad logarithmos spectant.

Index producti e quotcunque factoribus conflati congruus est summae indicum singulorum factorum secundum modulum .

Index potestatis numeri alicuius congruus est producto ex indice numeri dati in exponentem potestatis, secundum mod. .

Demonstrationes propter facilitatem omittimus.

Hinc perspicitur, si tabulam construere velimus, ex qua omnium numerorum indices pro modulis diversis desumi possint, ex hac tum omnes numeros modulo maiores, tum omnes compositos omitti posse. Specimen huius modi tabulae ad calcem operis huius adiectum est, Tab. I, ubi in prima columna verticali positi sunt numeri primi primorumque potestates a 3 usque ad 97, qui tamquam moduli sunt spectandi, iuxta hos singulos numeri pro basi assumti; tum sequuntur indices numerorum primorum successivorum, quorum quini semper per parvulum intervallum sunt disiuncti, eodemque ordine supra dispositi sunt numeri primi; ita ut quis index numero primo dato secundum modulum datum respondeat, facile tutoque inveniri possit.

Ita ex. gr. si index numeri , assumto pro basi erit


59.

Index valoris cuiuscunque expressionis , (art. 31) congruus est secundum modulum differentiae indicum numeratoris et denominatoris , siquidem numeri , per non sunt divisibiles.

Sit enim valor quicunque : eritque ; hinc

adeoque

Si itaque tabula habetur, ex qua index cuique numero respondens pro quovis modulo primo, aliaque ex qua numerus ad indicem datum pertinens derivari possit, omnes congruentiae primi gradus facillimo negotio solvi poterunt, quoniam omnes reduci possunt ad tales, quarum modulus est numerus primus (art. 30). E. g. proposita congruentia erit Hinc

At numerus cuius index invenitur . Quare . — Tabulam secundam quidem non adiecimus: at huius vice alia defungi poterit, uti Sect. VI ostendemus.


De radicibus congruentiae .
60.

Simili modo ut art. 31 radices congruentiarum primi gradus designavimus, in sequentibus etiam congruentiarum purarum altiorum graduum radices per signum exhibebimus. Uti scilicet nihil aliud significat quam radicem aequationis , ita apposito modulo per denotabitur radix quaecunque congruentiae . Hanc expressionem tot valores habere dicemus, quot habet secundum incongruos, omnes enim qui secundum sunt congrui tamquam aequivalentes spectandi (art. 26). Ceterum patet, si , secundum fuerint congrui, expressiones , aequivalentes fore.

Iam si ponitur , erit . Ex hac congruentia deducuntur ad praecepta sectionis praec. valores ipsius atque ex his valores respondentes ipsius . Facile vero perspicitur, habere totidem valores, quot radices congruentia . Manifesto igitur unum tantummodo valorem habebit, quando ad est primus; quando vero numeri , divisorem communem habent , atque hic est maximus, habebit valores incongruos secundum , adeoque totidem valores incongruos secundum , siquidem per est divisibilis. Qua conditione deficiente nullum valorem realem habebit.

Exemplum. Quaeruntur valores expressionis . Solvi itaque debet congruentia , invenienturque tres valores ipsius . His vero respondent valores ipsius , , , .


61.

Quantumvis expedita sit methodus haec, quando tabulae necessariae adsunt, debemus tamen non oblivisci, indirectam eam esse. Operae igitur pretium erit inquirere quantum methodi directae polleant: trademusque hic ea quae ex praecedentibus hauriri possunt: alia, quae considerationes reconditiores postulant, ad sectionem VIII reservantes. Initium facimus a casu simplicissimo, ubi , sive ubi radices congruentiae quaeruntur. Hic itaque, assumta radice quacunque primitiva pro basi, debet esse . Quae congruentia, quando ad est primus, unam tantummodo radicem habebit, scilicet : quare in hocce casu unicum valorem habet, scilicet . Quando autem numeri , habent divisorem communem (maximum) , congruentiae solutio completa erit (V. art. 29), i.e. secundum modulum alicui ex his numeris congruus esse debebit, sive valores secundum modulum incongruos habebit; quare etiam in hocce casu valores diversos (secundum modulum incongruos) habebit. Hinc perspicitur, expressionem etiam valores diversos habere, quorum indices cum ante allatis prorsus conveniant. Quocirca expressio huic. omnino aequivalet, i. e. congruentia easdem radices habet quas haec, . Prior autem inferioris erit gradus, siquidem et sunt inaequales.

Ex. tres habet valores, quia maxima numerorum mensura communis, hique simul erunt valores expressionis . Sunt autem hi , , .


62.

Per hanc igitur reductionem id lucramur, ut alias congruentias formae solvere non sit opus, quam ubi numeri est divisor. Infra vero ostendemus, congruentias huius formae semper ulterius adhuc deprimi posse, licet praecedentia ad hoc non sufficiant. Unum tamen casum iam hic absolvere possumus, scilicet ubi . Manifeste enim valores expressionis erunt et , quia plures quam duos habere nequit, hique et semper sunt incongrui, nisi modulus sit , in quo casu unum tantum valorem habere posse, per se clarum. Hinc sequitur, et etiam fore valores expressionis quando ad sit primus. Hoc semper eveniet, quoties modulus est eius indolis, ut fiat numerus absolute primus (nisi forte , in quo casu omnes numeri sunt radices) ex. gr. quando etc. Tamquam corollarium hic annotetur, indicem ipsius semper esse , quaecunque radix primitiva pro basi accipiatur. Namque . Quare erit vel , vel : vero semper index ipsius , atque et semper indices diversos habere debent (praeter casum , ad quem hic respicere operae non est pretium).


63.

Ostendimus art. 60, expressionem habere valores diversos, aut omnino nullum, si fuerit divisor communis maximus numerorum , . Iam uti modo docuimus et aequivalentes esse, si fuerit , generalius probabimus, expressionem semper ad aliam reduci posse, cui aequivaleat. Illius enim valore quocunque denotato per erit ; iam sit valor quicunque expressionis , quam valores reales habere ex art. 31 perspicuum; eritque , at propter . Quare adeoque quicunque ipsius valor erit etiam valor ipsius . Quoties igitur valores reales habet, expressioni prorsus aequivalens erit, quoniam illa neque alios habet quam haec neque pauciores, licet quando nullum valorem realem habet, fieri tamen possit, ut valores reales habeat.

Ex. Si valores expressionis quaeruntur, erit numerorum et divisor communis maximus , expressionisque valor aliquis , quare si valores reales habet, huic expressioni sive aequivalebit, invenieturque revera, posterioris expressionis valores, qui sunt , , , etiam priori satisfacere.


64.

Ne autem hanc operationem incassum suscepisse periclitemur, regulam investigare oportet, per quam statim diiudicari possit, utrum valores reales admittat necne. Quodsi tabula indicum habetur, res in promtu est; namque ex art. 60 manifestum est, valores reales dari, si ipsius index, radice quacunque primitiva pro basi accepta, per sit divisibilis, sin vero minus, non dari. Attamen hoc etiam absque tali tabula inveniri potest. Posito enim indice ipsius , si hic fuerit per divisibilis, erit per divisibilis et vice versa. Atqui numeri index erit . Quare si habet valores reales, unitati congruus erit, sin minus, incongruus. Ita in exemplo art. praec. habetur , unde concluditur valores reales habere. Similiter certiores hinc fimus , semper valores binos reales habere, quando sit formae , nullum vero, quando sit formae ; propter et . Elegans hoc theorema, quod vulgo ita profertur: Si est numerus primus formae , inveniri potest quadratum , ita ut per fiat divisibilis; si vero est formae , tale quadratum non datur, hoc modo demonstratum est ab ill. Eulero, Comm. nov. Acad. Petrop. T. XVIII p. 112 ad annum 1773. Demonstrationem aliam iam multo ante dederat, Comm. nov. T. V. p. 5, qui prodiit a. 1760. In dissert. priori, Comm. nov. T. IV. p. 25, rem nondum perfecerat. Postea etiam ill. La Grange theorematis demonstrationem tradidit, Nouveaux Mém. de l'Ac. de Berlin A. 1775 p. 342. Aliam adhuc demonstrationem in sectione sequenti, ubi proprie de hoc argumento agendum erit, dabimus.


65.

Postquam omnes expressiones ad tales reducere docuimus, ubi divisor numeri , criteriumque nacti sumus, utrum valores reales admittat necne, tales expressiones , ubi ipsius est divisor, accuratius considerabimus. Primo ostendemus, quam relationem valores singuli expressionis inter se habeant, tum artificia quaedam trademus, quorum auxilio unus valor expressionis saepenumero inveniri possit.

Primo. Quando atque aliquis ex valoribus expressionibus , sive , omnes etiam ipsius potestates erunt valores istius expressionis; horum autem totidem erunt diversi, quot unitates habet exponens, ad quem pertinet (art. 48). Quodsi igitur est valor ad exponentem pertinens, potestates ipsius hae (ubi loco ultimae unitas substitui potest) omnes expressionis valores involvent. Qualia autem subsidia exstent ad tales valores inveniendos, qui ad exponentem pertineant, in Sect. VIII fusius explicabimus.

Secundo. Quando unitati est incongruus, unusque valor expressionis notus, qui sit , reliqui hoc modo inde deducuntur. Sint valores expressionis hi (uti modo ostendimus), eruntque omnes expr. valores hi namque omnes hos congruentiae satisfacere inde manifestum, quod, posito quocunqueeorum , potestas ipsius , , propter et , ipsi fit congrua: omnes diverses esse ex art. 23 facile intelligitur; plures autem valores quam hos, quorum numerus est , expressio habere nequit. Ita ex. gr. si alter expressionis valor est , alter erit . Denique hinc concludendum, omnes valores expr. inveniri non posse, nisi simul omnes valores expr. constent.


66.

Secundum quod nobis proposueramus fuit docere, in quo casu unus expressionis valor (ubi supponitur esse divisor ipsius ) directe inveniri possit. Hoc evenit, quando aliquis valor potestati alicui ipsius congruus evadit, qui casus quum haud raro occurrat, aliquantum huic rei immorari non superfluum erit. Sit talis valor, si quis datur , sive et . Hinc colligitur ; quare si numerus habetur, ita ut sit , erit valor quaesitus. At huic conditioni aequivalet ista, ut sit , designante exponentem, ad quem pertinet (art. 46, 48). Ut vero haec congruentia possibilis sit, requiritur, ut sit ad primus. Hoc in casu erit ; si vero et divisorem communem habent, nullus valor potestati ipsius congruus esse potest.


67.

Quum autem ad hanc solutionem ipsum novisse oporteat, videamus quomodo procedere possimus, si hunc numerum ignoremus. Primo facile intelligitur, ipsum metiri debere, siquidem valores reales habeat, uti hic semper supponimus. Sit enim quicunque valor , eritque tum , tum ; quare elevando partes posterioris congruentiae ad potestatem tam, fiet ; adeoque per divisibilis (art. 48). Iam si ad est primus, congruentia art. praec. etiam secundum modulum solvi poterit, manifestoque valor ipsius congruentiae secundum modulum hunc satisfaciens eidem etiam secundum modulum , qui ipsum metitur, satisfaciet (art. 5). Tum igitur quod quaerebatur, inventum. Si vero ad non est primus, omnes ipsius factores primi, qui simul ipsum metiuntur, ex eiiciantur. Hinc nanciscemur numerum , ad primum, designante productum ex omnibus illis factoribus primis, quos eiecimus. Quodsi iam conditio ad quam in art. praec. pervenimus ut ad sit primus, locum habet, etiam ad erit primus adeoque etiam ipsum metietur. Quare si congruentia solvitur (quod fieri potest quia ad primus), valor ipsius etiam secundum modulum congruentiae satisfaciet, id quod quaerebatur. Totum hoc artificium in eo versatur, ut numerus eruatur, qui ipsius , quem ignoramus, vice fungi possit. Attamen probe meminisse oportet, nos, quando ad non est primus, supposuisse conditionem art. praec. locum habere, quae si deficit omnes conclusiones erroneae erunt; atque si regulas datas temere sequendo pro valor invenitur, cuius potestas ta ipsi non sit congrua, indicio hoc est, conditionem deficere adeoque methodum hanc omnino adhiberi non posse.


68.

Sed in hocce etiam casu saepe prodesse potest, hunc laborem suscepisse; operaeque pretium est, quomodo hic valor falsus ad veros sese habeat, investigare. Supponamus itaque, numeros , rite esse determinatos sed non esse . Tum si modo valores expressionis determinari possint, hos singulos per multiplicando valores ipsius obtinebimus. Si enim est valor aliquis ipsius : erit . Sed expressio eatenus hac simplicior, quod ad exponentem minorem plerumque pertinet quam . Scilicet si numerorum , divisor communis maximus est , ad exponentem pertinebit, id quod ita demonstratur. Substitute pro valore, fit . At per divisibilis (art. praec), vero per (ibid.) sive per . Atqui ad est primus (hyp.), quare etiam per sive per , adeoque etiam per et per erit divisibilis. Hinc . Unde facile deducitur, ad potestatem tam evectum unitati congruum fieri. Quod vero ad exponentem minorem quam pertinere non possit, facile quidem demonstrari potest, sed quoniam ad finem nostrum non requiritur, huic rei non immoramur. Certi igitur esse possumus, semper ad minorem exponentem pertinere quam , unico excepto casu, scilicet quando ipsum metitur, adeoque .

Sed quid iuvat, quod ad minorem exponentem pertinet quam ? Plures numeri dantur, qui possunt esse , quam qui possunt esse , et quando secundum eundem modulum plures huiusmodi expressiones evolvere occasio est, id lucramur, ut plures ex eodem fonte haurire possimus. Ita ex. gr. semper unicum saltem valorem expressionis determinare in potestate erit, si modo expressionis valores (qui sunt ) innotuerint. Facile enim ex art. praec. perspicitur, huiusmodi expressionum unum valorem semper directe determinari posse, quando impar, et fieri , quando par; praeter autem nullus numerus ad exponentem pertinet.

Exempla. Quaeritur . Hic , , , adeoque : debet igitur esse quod obtinetur ponendo . Hinc , inveniturque revera . Si valores expressionis sunt noti, etiam reliqui expr. valores determinari possunt. Sunt vero illi , , , per quos multiplicando ipsum , prodeunt reliqui et .

Si autem quaeritur valor expr. , erit , ; adeoque . Hinc debet esse , unde fit . Quare ; at non , sed ; est autem , atque ; unde obtinentur valores veri .

Haec fere sunt, quae hic de talium expressionum evolutione tradere licuit. Palam est, methodos directas satis prolixas saepe evasuras: at hoc incommodum tantum non omnibus methodis directis in numerorum theoria incumbit: neque ideo negligendum censuimus, quantum hic praestare valeant ostendere. Etiam hic observare convenit, artificia particularia quae exercitato haud raro se offerunt sigillatim explicare, non esse instituti nostri.


Nexus indicum in systematibus diversis.
69.

Revertimur nunc ad radices, quas diximus primitivas. Ostendimus, radice primitiva quacunque pro basi assumta omnes numeros, quorum indices ad primi, etiam fore radices primitivas, nullosque praeter hos: unde simul radicum primitivarum multitudo sponte innotescit. V. art. 53. Quamnam autem radicem primitivam pro basi adoptare velimus, in genere arbitrio nostro relinquitur; unde intelligitur, etiam hic, ut in calculo logarithmico, plura quasi systemata dari posse[2], quae quo vinculo connexa sint videamus. Sint , duae radices primitivae, aliusque numerus , atque, quando pro basi assumitur, index numeri , numeri vero index ; quando autem pro basi assumitur, index numeri , numeri vero . Tum erit ; namque , quare , (hyp.), hinc . Per simile ratiocinium invenitur , atque . Si igitur tabella indicum pro basi constructa habetur, facile in aliam converti potest, ubi basis. Si enim pro basi ipsius index est , pro basi ipsius index erit , multiplicandoque per hunc numerum omnes tabellae indices, habebuntur omnes indices pro basi .


70.

Quamvis autem plures indices numero dato contingere possint, aliis aliisque radicibus primitivis pro basi acceptis, omnes tamen in eo convenient, quod omnes eundem divisorem maximum cum communem habebunt. Si enim pro basi , index numeri dati est , pro basi vero , atque divisores maximi his cum communes , supponuntur esse inaequales, alter erit maior, ex. gr. , adeoque ipsum non metietur. At designato indice ipsius , quando pro basi assumitur, per , erit (art. praec.) adeoque etiam ipsum metietur. Q. E. A.

Hunc divisorem maximum indicibus numeri dati, ipsique communem, a basi non pendere, etiam inde perspicuum, quod aequalis est ipsi , designante exponentem ad quem numerus, de cuius indicibus agitur, pertinet. Si enim index pro basi quacunque est , erit minimus numerus per quem multiplicatus ipsius multiplum evadit (excepta cifra) vid. artt. 48, 58, sive minimus valor expressionis praeter cifram; hunc autem aequalem esse divisori maximo communi numerorum et , ex art. 29 nullo negotio derivatur.


71.

Porro facile demonstratur, basin ita semper accipere licere, ut numerus ad exponentem pertinens indicem quemlibet datum nansiscatur, cuius quidem maximus divisor cum communis . Designemus hunc brevitatis gratia per , sitque index propositus , numerique propositi, quando quaelibet radix primitiva pro basi accipitur, index , eruntque , ad sive ad primi. Tum si est valor expressionis , simulque ad primus, erit radix primitiva, qua pro basi accepta numerus propositus indicem adipiscetur (erit enim numero proposito), id quod desiderabatur. Sed expressionem valores ad primos admittere, ita probatur. Aequivalet illa expressio huic: sive vid. art. 31, 2, eruntque omnes eius valores ad primi; si enim aliquis valor divisorem cum communem haberet, hic divisor etiam ipsum metiri deberet, adeoque etiam ipsum , cui secundum congruus, contra hypoth., ex qua ad primus. Quando igitur omnes divisores primi ipsius etiam ipsum metiuntur, omnes expr. valores ad primi erunt multitudoque eorum ; quando autem alios adhuc divisores primos, etc. implicat, ipsum non metientes, ponatur valor quicunque expr. . Tum autem quia omnes etc. inter se primi, inveniri potest numerus , qui secundum ipsi , secundum etc. vero numeris quibuscunque ad hos respective primis fiat congruus (art. 32). Talis itaque numerus per nullum factorem primum ipsius divisibilis adeoque ad primus erit, uti desiderabatur. Tandem haud difficile ex combinationum theoria deducitur, talium valorum multitudinem fore ; sed ne digressio haec in nimiam molem excrescat, demonstrationem, quum ad institutum nostrum non sit adeo necessaria, omittimus.


Bases usibus peculiaribus accommodatae.
72.

Quamvis in genere prorsus arbitrarium sit, quaenam radix primitiva pro basi adoptetur, interdum tamen bases aliae prae aliis commoda quaedam peculiaria praebere possunt. In tabula I semper numerum pro basi assumsimus, quando fuit radix primitiva; alioquin basin ita semper determinavimus, ut numeri index evaserit quam minimus, i. e. denotante exponentem, ad quem pertinuit. Quid vero hinc lucremur, in Sect. VI ostendemus, ubi eadem tabula ad alios adhuc usus adhibebitur. Sed quoniam etiam hic aliquid arbitrarii remanere potest, ut ex art. praec. apparet: ut aliquid certi statueremus, ex omnibus radicibus primitivis quaesitum praestantibus minimam semper pro basi elegimus. Ita pro , ubi atque , habet i. e. valores, qui sunt . Assumsimus itaque minimum pro basi.

Methodus radices primitivas assignandi.
73.

Methodi radices primitivas inveniendi maximam partem tentando innituntur. Si quis ea quae art. 55 docuimus cum iis quae infra de solutione congruentiae trademus confert, omnia fere, quae per methodos directas effici possunt, habebit. Ill. Euler confitetur, Opusc. Analyt. T. I. p. 152, maxime difficile videri, hos numeros assignare, eorumque indolem ad profundissima numerorum mysteria esse referendam. At tentando satis expedite sequenti modo determinari possunt. Exercitatus operationis prolixitati per multifaria artificia particularia succurrere sciet: haec vero per usum multo citius quam per praecepta ediscuntur.

1°. Assumatur ad libitum numerus ad (ita semper modulum designamus) primus, , (plerumque ad calculi brevitatem conducit, si quam minimum accipimus, ex. gr. numerum ) determineturque eius periodus (art. 46), i. e. residua minima ipsius potestatum, donec ad potestatem perveniatur, cuius residuum minimum sit [3]. Iam si fuerit , est radix primitiva.

2°. Si vero , accipiatur alius numerus in periodo ipsius non contentus, investigeturque simili modo huius periodus. Designate exponente ad quem pertinet per , facile perspicitur neque ipsi aequalem neque ipsius partem aliquotam esse posse, in utroque enim casu fieret , quod esse nequit, quum periodus ipsius omnes numeros amplectatur, quorum potestas exponentis unitati congrua (art. 53). Quodsi fuerit , erit radix primitiva; si vero non quidem , sed tamen multiplum ipsius , id lucrati sumus, ut numerus constet ad exponentem maiorem pertinens, adeoque scopo nostro, qui est invenire numerum ad exponentem maximum pertinentem, propiores iam simus. Si vero neque , neque ipsius multiplum, tamen numerum invenire possumus ad exponentem ipsis , maiorem pertinentem, nempe ad exponentem minimo dividuo communi numerorum , aequalem. Sit hic , resolvaturque ita in duos factores inter se primos, , , ut alter ipsum , alter ipsum metiatur[4]. Tum fiat potestas ta ipsius , , potestas ta ipsius , , eritque productum numerus ad exponentem pertinens; facile enim intelligitur, ad exponentem , ad exponentem pertinere; adeoque productum ad pertinebit, quia , inter se sunt primi, id quod prorsus eodem modo uti in art. 55, II processimus probari poterit.

3°. Iam si , erit radix primitiva; sin minus, simili modo ut antea alius numerus adhibendus erit, in periodo ipsius non occurrens; eritque hic aut radix primitiva, aut pertinebit ad exponentem ipso maiorem, aut certe ipsius auxilio (uti ante) numerus ad exponentem ipso maiorem pertinens inveniri poterit. Quum igitur numeri qui per repetitionem huius operationis prodeunt, ad exponentes continuo crescentes pertineant, manifestum est tandem numerum inventum iri, qui ad exponentem maximum pertineat, i. e. radicem primitivam, q. e. f.


74.

Per exemplum praecepta haec clariora fient. Sit , pro quo radix primitiva quaeratur. Tentemus primo numerum , cuius periodus prodit haec:

1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 55. 37. 1. etc.
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. etc.

Quum igitur iam potestas exponentis unitati congrua fiat, non est radix primitiva. Tentetur alius numerus in periodo ipsius non occurrens ex. gr. , cuius periodus est haec:

1. 3. 9. 27. 8. 24. 72. 70. 64. 46. 65. 49. 1. etc.
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. etc.

Quare neque est radix primitiva. Exponentium autem ad quos , pertinent, (i.e. numerorum , ) dividuus communis minimus est , qui in factores et ad praecepta art. praec. resolvitur. Evehendus itaque ad potestatem exponentis , i. e. numerus ipse retinendus; autem ad potestatem exponentis : productum ex his est , quod itaque ad exponentem pertinebit. Si denique ipsius periodus computatur numerusque in hac non contentus ex. gr. denuo tentatur, hunc esse radicem primitivam, reperietur.



Theoremata varia de periodis et radicibus primitivis.
75.

Antequam hoc argumentum deseramus, propositiones quasdam trademus, quae ob simplicitatem suam attentione haud indignae videntur.


Productum ex omnibus terminis periodi numeri cuiusvis est , quando ipsorum multitudo, sive exponens ad quem numerus pertinet, est impar, et , quando ille exponens est par.

Ex. Pro modulo periodus numeri constat ex his terminis quorum productum .

Secundum eundem modulum periodus numeri constat e terminis quorum productum .

Demonstr. Sit exponens, ad quem numerus pertinet, , atque index numeri, , id quod si basis rite determinatur, semper fieri potest (art. 71). Tum index producti ex omnibus periodi terminis erit i. e. , quando impar, et , quando par; hinc in priori casu productum illud ; in posteriori vero , (art. 62). Q. E. D.


76.

Si numerus iste in theor. praecedente est radix primitiva, eins periodus omnes numeros comprehendet, quorum productum itaque semper (namque semper par, unico casu excepto in quo et aequivalent). Theorema hoc elegans quod ita enunciari solet: productum ex omnibus numeris numero primo dato minoribus, unitate auctum per hunc primum est divisibile, primum a cel. Waring est prolatum armigeroque Wilson adscriptum, Meditt. algebr. Ed. 3. p. 380. Sed neuter demonstrare potuit, et cel. Waring fatetur demonstrationem eo difficiliorem videri, quod nulla notatio fingi possit, quae numerum primum exprimat. — At nostro quidem iudicio huiusmodi veritates ex notionibus potius quam ex notationibus hauriri debebant. Postea ill. La Grange demonstrationem dedit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1771. Innititur ea considerationi coëfficientium ex evolutione producti oriundorum. Scilicet posito hoc producto coëfficientes , etc. per erunt divisibiles, vero erit . Iam pro , productum per divisibile; tunc autem erit ; quare necessario per dividi poterit.

Denique ill. Euler in Opusc. analyt. T. I. p. 329 demonstrationem dedit, cum ea quam nos hic exposuimus conspirantem. Quodsi tales viri theorema hoc mediationibus suis non indignum censuerunt, non improbatum iri speramus, si aliam adhuc demonstrationem apponimus.


77.

Quando secundum modulum , productum duorum numerorum , unitati est congruum, numeros , cum ill. Euler socios vocemus. Tum secundum sect. praec. quivis numerus positivus ipso minor socium habebit positivum ipso minorem et quidem unicum. Facile autem probari potest ex numeris