 Dedicatio |
Liber II  |
IO. KEPLERI
Harmonices Mundi
LIBER I.
DE FIGVURARVM REGVLA-
rium, quæ proportiones har-
monicas pariunt, ortu, classibus, or-
dine & differentijs, causâ scientiæ
& Demonstrationis.
Proclus Diadochus
Libro I. Comment. in I. Euclidis.
Πρὸς δὲ τὴν φυσικὴν θεωρίαν (ἡ μαθηματική) τὰ μέγιστα
συμβάλλεται, τήντε τῶν λόγων ἐυταξίαν ἀναφαίνουσα, καθ' τὴν
δεδιμούργηται τὸ ΠÃΝ, &c: καὶ τὰ ἁπλὰ καὶ πρωτουργὰ στοι-
χεῖα, καὶ παύτῃ τῇ συμμετρίᾳ καὶ τῇ ἰσότητι συνεχόμενα δείξα-
σα, δὶ ὧν καὶ ὁ πᾶς οὐρανὸς ἐτελειώθη, σχήματα τὰ προσ-
ήκοντα, κατὰ τὰς ἑαυτοῦ μερίδας ὑποδε-
ξάμενος.
Cum S. C. Mtis. Privilegio ad annos XV.
LINCII AUSTRIÆ
Excudebat Johannes Plancus,
CVm a divisionibus circuli in partes aliquotas æquales, quæ fiunt Geometricè & scientificè, hoc est, à figuris planis Regularibus demonstrabilibus, sint nobis petendæ causæ Proportionum Harmonicarum: illud initio significandum duxi, differentias rerum Geometricarum mentales, hodie, quantum apparet ex libris editis, in solidum ignorari. Adeòque ne ex veteribus quidem, qui has specificas rerum Geometricarum differentias se exactè cognovisse significaverit, præter Euclidem, ejusque commentatorum Proclum, quisqua occurrit. Pappi quidem Alexandrini, veterumque, quos ille sequatur, distributio Problematum, in Plana, Solida & Linearia, satis est apposita ad habitus mentis circa unamquaque subjecti Geometrici patrem orientes, explicandos: illa tamen & brevis est verbis, & ad praxin applicata; de theoria nulla fit mentio: & verò nisi totâ mente in theoriâ hujus rei occupemur, nunquam assequi poterimus rationes harmonicas. Proclus de intellectuali essentia rerum Geometricarum. Proclus Diadochus, libris quatuor in primum Euclidis editis, Philosophum Theoreticum in mathematico subjecto ex professo egit: qua si commentaria sua in decimum etiam librum Euclidis nobis reliquisset: & nostros Geometras inscitia liberasset non neglectus; & me labore hoc explicandi rerum Geometricarum differentias in solidum sublevasset. Satis enim illi cognita fuisse discrimina ista Entium Mentalium, ex ipso exordio facilè apparet, cùm principia totius essentiæ Mathematicæ statuit eadem, quæ etiam per omnia Entia vadunt, omniaque à se gignunt, Finem sc. & Infinitum: seu Terminum & Interminatum: terminum vel circumscriptionem pro Forma, interminatum pro Materia agnoscens rerum Geometricarum.
Quantitatum n. propria sunt, Figuratio & proportio, figuratio singularum, proportio junctarum. Figuratio perficitur terminis, linea n. recta punctis, superficies plana lineis, corpus superficiebus terminatur, circumscribitur & figuratur. Quæ igr finita circumscripta & figurata sunt, illa etiam comprehendi mente possunt: infinita & indeterminata quatenus talia nullis scientiæ, que definitionibus, comparatur, nullis demonstrationum repagulis coartari possunt. Prius autem figuræ sunt in Archetypo, quàm in Opere, prius in mente divinâ, quàm in creaturîs; diverso quadem subjecti modo, sed eâdem tamen essentiæ suæ formâ. Igr quantitatibus figuratio, Mentalis quadam essentia fit, seu intellectio, earum essentialis differentia. Id multò magis clarum est ex proportionibus. Cum n. figuratio pluribus terminis perficiatur, fit ut perper hanc pluralitatem figuratio proportionibus utatur. Proportio verò quid sit sine mentis actione; id verò intelligi nullatenus potest. Eòque etiam hoc nomine, qua quantitatibus terminos dat pro principio essentiali, is figuratas quantitates intellectualem essentiam habere ponit. Sed non est opus argumentatione, legatur totus liber Procli; satis apparebit, ipsi differentias intellectuales rerum Geometricarum probè fuisse cognitas: etsi affirmatum hoc ille non ita seorsim solitarium in aperto & conspicuo ponit, ut etiam oscitantem ejus admoneat: fluit n. ejus oratio pleno velut alveo, copiosissimis undiqua strata sententijs abstrusioris philosophiæ Platonicæ, quas inter & hoc est, libri hujus argumentum singulare. Verùm huic nostro sæculo non vacavit hactenus, ad tam recondita penetrare: Petri Rami iniqua in Euclidem & imperio censuro. lectus est liber Procli Petro Ramo, sed quòd ad nucleum attinet philosophiæ, pariter cum decimo Euclidis contemptus & abjectus: quique commentarium in Euclidem scripserat, veluti si apologiam pro eo scripsisset, repudiatus & obmutescere jussus: irritata verò infensi Censoris ira in Euclidem ut reum vertit; damnatus est atroci sententia Euclidis decimus, ut ne legeretur, qui lectus intellectusque, philosophiæ mysteria pandere poterat. Legite quæso verba Rami, quibus ille nihil unquam indignius Ramo protulit: Scholarum Math. lib.21. Materies inquit, decimo libro proposita, eo modo est tradita; ut in humanis literis atque artibus similem obscuritatem nusquam deprehenderim: obscuritatem dico non ad intelligendum, quid præcipiat Euclides (id n. vel indoctis & illiteratis, id solum quod adest, quodque præsens est, intuentibus, possit esse perspicuum) sed ad perspiciendum penitus & explorandum, quis finis sit & usus operi propositus, quæ genera, species, differentiæ sint rerum subjectarum: nihil n. unquam tam confusum vel involutum legi vel audivi. Quin superstitio Pythagorica in hunc quasi specum inducta videatur &c. At hercle, Rame, nisi nimiùm facilem ad intelligendum hunc librum credidisses: nunquàm tantam obicuritatem fuisses calumnitatus. Labore majore opus est, quiete opus est, sollicitudine opus est, & attentione præcipuâ mentis, donec comprehendas intentum scriptoris: ubi eo fuerit enisa mens generosa, tum demum sese in lumine veri versari cernens, incredibili voluptate perfunditur exultans, & ab illâ veluti specula totum Mundum omnesque ejus partium differentias exactissime perspicit. At tibi, qui hoc loco patronum agis ignorantiæ, vulgique hominum, lucra captantium ex omnire, divinâ, humanâ, vobis inquam sint ista prodigiosa sophismata, vobis ocio fuerit Euclides intemperanter abusus, vobis acumina ista locum in Geometria nullum habeant; vestrum esto, carpere quæ non intelligitis: mihi qui rerum causas indago, præter quàm in decimo Euclidis, semitæ ad illas nullæ patuerunt.
Lazarus Schonerus. Ramum secutus Lazarus Schonerus, in Geometria sua, fassus est se quinque corporum Regularium usum planè nullum in Mundo videre potiusse, donec libellum meum, quem Mysterium Cosmographicum inscripsi, perlegerit: in quo Planetarum numerum & intervalla, probo ex corporibus quinque Regularibus esse desumpta. Ecce quid nocuerit Ramus magister Schonero discipulo. Primùm Ramus Aristotele perlecto, qui refutaverat Pythagoricam philosophiam circa Elementorum proprietates ex quinque corporibus deductas, statim animo concepit contemptum totius Philosophiæ Pythagoricæ; deinde cùm sciret Proclum fuisse Pythagoricæ sectæ, non credidit ei affirmanti, quod erat verissimum, sc. Euclidei operis ultimum finem, ad quem referrentur omnes omninò propositones omnium librorum (exceptis quæ ad Numerum perfectum ducunt) esse quinque corpora regularia. Hinc orta est apud Ramum confidentissima persuasio, Quinque corpora esse removenda à fine librorum Elementariorum Euclidis.
Adempto fine operis, velutiformâ ædificij sublatâ, relinquebatur informis strues propositionum in Euclide, in quam velut in larvam aliquam Ramus totis octio & viginti libris Scholarum invehitur, magna dicendi acerbitate, magna temeritate, tanto viro indignissimâ. Lazari Schoneri sententia de quinque figuris solidis Hanc Rami persuasionem secutus Schonerus credidit ecce & ipse, corpora regularia nulli esse usui: nec hoc tantum; sed & Proclum neglexit, aut contempsit, judicium Rami secutus; à quo Proclo discere poterat usum corporum quinque & in Elementis Euclidis & in Mundi fabrica. Et quidem fœlicior erat discipulus Magistro, quia usum corporum à me patefactum in Fabrica Mundi gratulabundus recepti, quem Ramus à Proclo inculcatum repudiaverat. Quid tum enim si Pythagorei figuras has elementis, non verò ut ego, Sphæris Mundi attribuerunt? Annisus esse Ramus, ut errorem hunc ipsorum circa genuinum figurarum subjectum tolleret, ut ego feci; non totam hanc Philosophiam uno verbo tyrannico sustulisset. Pythagoreorum de quanque figuris Mystica interpretatio: Quid si Pythagorici hoc idem docuerunt, quod ego, sententiam involucris verborum texerunt? Nonne Copernicana Mundi forma, extat in ipio Aristotele, perperam ab ipso refutata sub nominibus alijs: dum illi Solem Ignem, Lunam Antichthona appellarunt? Si namque dispositio orbium eadem fuit apud Pythagoreos, quæ apud Copernicum, si nota Corpora quinque, eorumque numeri quinarij necessitas; si constanter omnes docuerunt, corpora quinque esse Mundi partium Archetypos; quantulum superest, ut credamus illorum sententiam sub ænigmare ab Aristotele lectam, quasi sub vero vocabulorum sensu fuisse refutatam: dum Aristoteles legit Terram, cui Cubum dabant; cùm ipsi fortè Saturnum intellexerint, cujus Orbis interpositu Cubi summotus est à Jove. Et terræ quidem quietem vulgus ascribit, Saturnus verò motum tardissimum, quieti proximum est sortitus, unde etiam ap. Hebræos à Quiete nomen obtinuit. Sic Aëri datum Octaëdron legit Aristoteles, cùm illi fortè Mercurium intellexerint, cujus orbis Octaëdro inclusus est; nec minus velox est Mercurius (quippe omnium velocissimus) quàm mobilis Aër habetur. Ignis vocabulo fortasse Mars fuit insinuatus, cui alias etiam ab igne nomen est Pyrois, atque illi Tetraëdron datum, forte quia includitur ejus orbis hac figura: et Aquæ sub involucro, cui Icosaëdron attributum, Veneris stella (ut cujus curriculum Icosaëdro continetur) latere potuit, quia Veneri humores subjecti, ipsaque dicitur orta Maris spumâ, unde vox Αφροδίτη. Denique Mundi vox potuit singificare Terram; & Mundo Dodecaëdron adscribi, quia Terræ curriculum hac figura continetur, duodecim longitudinis partibus distinctum; uti illa figura duodecim toto ambitu planis contenetur. Quòd igitur in Mysterijs Pythagoreorum hoc pacto quinque figuræ distributæ fuerint non inter Elementa, ut Aristoteles credidit, sed inter ipsos Planetas; illud vel maximè confirmat, quòd Proclus finem Geometriæ inter cæteros hunc tradit, quod doceat, quo modo figuras convenientes cœlum certis sui partibus acceperit.
Nec dum finis est damni, quod Ramus nobis dedit, ecce sollertissimum Geometrarum hodiernorum Snellium, planè suffragantem Ramo, præfatione in Ludolphi à Collen Problemata: Willebrordi Snellij de Binominalibus sententia: primum ait, ad usum inutilem esse divisionem illam ineffabilium in tredecim species. Concedo si nullum ille usum agnoscat, nisi in vita communi, & si nullus contemplationum physicarum sit usus ad vitam. At cur non Proclum sequitur, quàm allegat, qui agnoscit aliquod majus Geometriæ bonum, quàm sunt artes ad vitam necessariæ? tunc equidem & decimi libri usus apparuisset in æstimandis figurarum speciebus. Allegat Snellius authores Geometras, qui non utantur libro decimo Euclidis. Sanè omnes illi aut linearia tractant problemata, aut solida, & de figuris vel quantitatibus talibus, quæ non habent finem suum intra sese, sed manifestè tendunt ad usus alios, nec sine ijs exquirerentur. At Figuræ regulares propter seipsas exquiruntur ut Archetypi, suam in seipsis habent perfecionem, suntque inter subjecta planorum Problematum, non obstante quod planis hedris solidum etiam clauditur: similiter & decimi libri materia potissimùm ad plana pertinet. Cur igitur allegarentur heterogenea? aut cut vilis æstimatur merx, quàm non emit Codrus, ut eâ ventrem pascat, emit verò Cleopatra, ut aures ornet? Crux tantùm defixa est ingenijs? Equidem ijs, qui numeris, hoc est effando vexant Ineffabilia. At ego has species tracto non numeris; non per Algebram, sed ratiocinatione Mentis; sanè quia ijs mihi non est opus ad subducendas Rationes mercatuum, sed ad explicandas rerum causas. Segreganda censet subtilia ista à στοιχειώσει, inque Bibliothecas abstrudenda. Omninò fidum Rami discipulum agit, nec ineptam locat operam: Ramus Ædificio Euclideo formam ademit, culmen proruit, quinque corpora; quibus ablatis, compages omnis dissoluta fuit, stant muri fissi, fornices in rumam minaces: Snellius igitur etiam Cæmentum aufert, ut cujus nisi ad soliditatem domus sub quinque figuris coagmentaræ nullus est usus. O fœlicem captum discipuli, quàm ille dextrè Euclidem intelligere didicit à Ramo: sc. ideò putant Στοιχεῖα dicta, quòd inveniatur in Euclide propositionum & problematum & Theorematum omnivaria copia, ad omne genus Quantitatum artiumque circa illas occupatarum: cùm liber Στοιχείωσις sit dictus à formâ, quòd semper sequens propositio innitatur præcedenti, usque ad ultimam libri ultimi (partim & libri noni) quæ nullâ priorum carere potest. Ex Architecto saltuarium faciunt aut materiarium, existimantes Euclidem ideò librum suum scripsisse, ut omnibus alijs commodaret, solus ipse propriam domum nullam haberet. Sed plus satis hoc loco de hisce: revertendum est ad caput orationis.
Cùm enim cernerem, veras & genuinas rerum geometricarum differentias, à quibus arcessendæ mihi sunt causæ Harmonicarum Proportionum, vulgò ignorari penitus: Euclidem, qui studio illas tradiderat, Occasio hujus Libri I. Rami cavillis oppressum explodi; strepituque lascivientium obturbante, à nemine exaudiri, aut surdis etiam narrare Philosophiæ mysteria; Proclum, qui mentem Euclidis aperire, abstrusa eruere, difficiliora captu, facilia reddere potuisset, & deridiculo esse, nec Commentaria sua usque ad librum decimum continuasse: vidi hoc omnino mihi faciendum esse; ut initio, ex libro decimo Euclidis exscriberem ea, quæ ad præsens institutum meum præcipuè facerent; seriem etiam rerum illius libri, certis quibusdam interjectis divisionibus, in lucem proferrem, causas indicarem, cur quædam divisionum membra ab Euclide fuerint omissa: tunc demum de figuris ipsis agendum fuit. Ubi quæ fuerunt ab Euclide demonstrata clarissimè; in ijs simplici propositionum allegatione contentus fui: multa quæ sunt ab Euclide demonstrata viâ aliâ, propter finem mihi propositum, scilicet propter comparationem figurarum scibilium & inscibilium, hîc fuerunt repetenda, vel disjuncta conjungenda, vel ordo mutandus. Definitionum, Propositionum, Theorematum seriem continuo Numero sum complexus, ut in Dioptricis feci, propter allegationum commoditatem: in ipsis etiam lemmatibus non accuratus fui, nec nimium de vocabulis sollicitus, magis in res ipsas intentus: quippe qui non jam in Philosophia Geometram, sed in hac Geometriæ parte Philosophum agam. Atque utinam de rebus Geometricis adhuc populariùs, dummodo & clariùs & palpabiliùs disserere potuissem. Sed spero; lectores æquos in utrâque re, & quòd Geometrica populariter trado, & quòd materiæ obscuritatem industriâ vincere non potui, meam operam boni consulturos. Quibus etiam hoc ad extremum do consilij; ut si Mathematicarum rerum penitus imperiti fuerint; transmissis enarrationibus meis, solas legant propositiones, à XXX usque ad finem; & fide propositionibus ipsis adhibitâ sine demonstratione, pergant ad libros cæteros, præsertim ad ultimum; ne difficultate Geometricam argumentationum absterriti, fructu sese privent Harmonicæ contemplationis jucundissimo. Nunc ad rem accedamus cum Deo.
De Figurarum Regularium
demonstrationibus.
PLana Figura regularis illa dicitur, quæ omnia latera & omnes angulos, extrorsum versos, æquales habet.
Vt hic QPRO, latera QP, PR, RO, OQ, sunt æqualia, & anguli QPR, PRO, ROQ, OQP, æquales.
EArum quædam sunt primæ & radicales, quæ suos ipsæ terminos non excedunt, quibus propriè convenit posita definitio: quædam sunt auctæ, quæ sua veluti latera excedunt, continuatis alicujus radicalis lateribus non contiguis, ad concursum: dicuntur Stellæ. Vt hic ABCDE est perfectum quinquangulum, estque figura prima, non desiderans aliam perfectam, ex qua, continuatione laterum; producatur.
At FGHIK est stella quinquangulua, & figura aucta, continuatis lateribus binis, non contiguis, verbi causa AB, & DC, ad concursum I.
SEmiregulares sunt, quæ angulos variantes, latera quatuor habent æqualia; ut Rhombi NMPO, GEKD.
OMnes figuræ Regulares angulis suis omnibus simul eidem circulo possunt insistere.
Nam per 21 Tertij Euclidis, Omnes anguli æquales, eidem, & sic etiam ejusdem circuli æqualibus segmentis inscribi possunt, sunt autem omnes anguli Regularis figuræ æquales, omnes igitur unius figuræ anguli æqualibus unius circuli segmentis possunt inscribi. Sed & actu omnes inscribi necesse est, uno inscripto. Nam latera omnia sunt æqualia; quare etiam sunt æqualia segmenta circuli, quæ à binis unius anguli lateribus absecantur, per 24. Tertij Euclidis: Ergò tam angulus, quàm laterum fines, simul in eundem circulum competunt. Fines verò laterum sunt & ipsi anguli. Secus esset si, quamvis æqalibus angulis, latera non essent æqualia: tunc enim dissolveretur necessitas inscriptionis omnium.
DEscribere Figuram, est proportionem linearum angulis subtensarum; ad anguli crura geometrico actu determinare; ex determinatis, triangula figuræ Elementaria construere, ex triangulis coassatis, figuram ipsam perficere.
Data enim proportione DA ad AE, ED, fiunt triangula DAE, DAC, CAB: ex quibus constat figura.INscribere Figuram circulo, est proportionem lateris figuræ ad diametrum circuli, cui est inscribenda, Geometrico actu determinare, quâ constitutâ proportione; facilè in circulo figura proposita delineatur.
Vt sidetur LD semidiameter, vel ejus dupla diameter, si sciamus, quid faciendo cum eâ, justam longitudinem lateri DE indulgeamus; facilè posteà repetitione ipsius DE, per circumferentiam, consummamus figuram.
SCire in geometricis, est mensurare per notam mensuram; quæ mensura nota in hoc negocio inscriptionis Figurarum in circulum, est diameter circuli.
SCibile dicitur, quod vel ipsum per se immediate est mensurabile per diametrum, si linea; vel per ejus quadratum, si superficies: vel quod formatur ad minimum ex talibus quantitatibus, certâ & geometricâ ratione, quæ quantumcunque longâ serie, tandem tamen à Diametro, ejusve quadrato dependeant. Græcè dicitur γνώριμον.
DEmonstratio est quantitatis vel describendæ uel sciendæ, ex Diametro deductio, per intermedia possibilia, Græcè Πόριμα.
Ita demonstratio communiter vel descriptionem parit vel scientiam. Et Descriptio quidem quantitatem nudam, scientia verò insuper & qualitatem, quantitatemvè certam profitetur. Potest autem aliqua linea esse geometricè determinata, Græcè τακτή, quæ tamen actu mentis, qualis sit, nondum sciatur. Potest vicissim alicujus vel aliquarum linearum qualitas aliqua sciri, quæ tamen ipsas nondum determinet, vel necessitet: si nimirum qualitas illa multis alijs rebus, quantitate differentibus sit communis. Est etiam quarundam linearum descriptio facilis, scientia difficilima. Deinque multa describi possunt actu Geometrica qualicunque; sciri tamen non possunt naturâ suâ: vt quidem scibile suprà descripsimus.PRopria demonstratio est, cum numerus angulorum Figuræ vel ipsius, vel ei congatæ numero laterum duplo aut dimidio, fit medius terminus ad determinandam proportionem lateris, quam id habet ad Diametrum.
Omnis enim figura regularis, est aut ipsa triangulum, aut resolvitum in triangula, ductis diagonalibus. Cum autem omne tale triangulum habeat tres duobus rectis æquales; in Trigonico igitur angulo est pars tertia, in Tetragonici elementaris angulo minimo, pars quarta, in Pentagonici pars quinta, in Heptagonici, pars septimæ etc: duorum rectorum. Et ab hac quantitate anguli, incipit demonstratio cujusque.
IMpropria demonstratio est, cum proportio lateris ad diametrum ex ipso angulorum numero immediatè adhibito nequit determinari Geometricè, nisi adhibeatur latus figuræ alterius, non duplo aut dimidio numero laterum.
GRadus scientiæ diversi sunt, alij remoti, alij propinqui. Primus & proximus gradus, cùm lineam aliquam scio & demonstrare possum, esse diametro æqualem, aut planum, licet aliter formatum, quadrato diametri æquale.
Hîc mensura nota, perfectè, scilicet seipsâ & uno actu, mensurat noscibile.
EEcundus gradius, cum diametro in aliquot partes æquales certo numero divisâ, vel ejus quadrato similiter, linea vel planum propositum æquatur tali parti vel partibus. Talis linea dicitur Græcè ῥητὴ μήκει Effabilis logitudine. Planum verò tale simpliciter dicitur ῥητὸν, Effabile. Numerus enim est Geometrarum sermo.
Ad hunc scientiæ gradum vel per descriptionem, inscriptionemque pervenimus; vel aliter etiam per cognationem cum alia aliqua quantitate, ad quam per illa media perveniebatur. Eoque non determinat hæc qualitas unam aliquam quantitatem; neque enim sufficit ad determinationem, ut sciam, aliquid causa commensurationis sic vel sic esse comparatum; oportet etiam hoc scire, quomodo, id est, quo numero sit Effabile.TErtius Gradus est hic, cum linea longitudine est Ineffabilis, at ejus quadratum Effabile, & pertinens ad secundum gradum. Dicitur ρητήδυνάμει, Effabilis potentiâ.
QVi sequuntur gradus, omnes appellantur Ἄλογοι, Ineffabiles. Irrationale quid latinis Geometris. Interpretes Latini verterunt, Irrationales, magno ambiguitatis & absurditatis periculo. Nos sepeliamus hunc vocis usum, quia multæ sunt lineæ, quæ quamvis Ineffabiles, optimis tamen continentur rationibus. Surdi Numeri. Arithmetici consimili translatione appellant Numeros surdos, id est, qui non plus loquuntur quam surdus audit: sed sub hoc nomine tam Effabiles solâ potentiâ, quam ineffabiles quatitates intelligunt. Est igitur quartus in ordine gradus, primus verò ineffabilium, quando nec linea, nec ejus quadratum sunt Effabilia; sed tamen Quadratum in tale Rectangulum transformari potest, cujus latera sint Effabilia saltem potentiâ. Hæc linea dicitur MESE, quia est media proportionalis inter duas Effabiles sola potentiâ commensurabiles: ut si una quidem sit Effabilis longitudine, altera solâ potentiâ; aut si utraque sola potentiâ Effabilis, potentiæ tamen inter se non sint ut quadratus numerus ad quadratum.
Talis linea non scitur vel mensuratur longitudine certarum partium æqualium diametri, nec ejus quadratum, quadrato diametri; sed nec lineæ mensurantur à Diametro ambæ simul; inter quas M E S E est media proportionalis; sed illarum linearum quadrata hæc demum à quadrato diametri mensurantur.
Quadratum M E S E S & ipsum M E S O N dicitur, sive sit formæ quadratæ, seu in Rectangulum transmutetur: estque hoc alterum Plani genus, post Effabile panum: Et hisce duobus planis, Effabili & Meso sequentes species inter se distinguuntur.
AD lineas alias singulares transitus est nobis, per copulationem linearum binarum, quæ ipsæ quoque novos gradus scientiæ interponunt. Secetur n. vel diameter, vel aliqua diametro commensurabilis saltem potentiâ & sic Effabilis, aut etiam aliqua Mese; secetur inquam in partes duas inæquales, aut conferantur ex duarum talium sectionibus, duæ quæcunque partes, vel compositæ ex partibus, vel compositas potentias, diminutasve, ex talibus habentes, duæ inquam in genere inæquales: illæ aut erunt longitudine commensurabiles inter se; aut incommensurabiles quidem longitudine, commensurabiles vero potentia. Hîc quamvis a commensuratione planè recesserunt singulæ, at junctæ tamen nonnullæ adhuc vel quadratis in unam summam collatis, vel Rectangulo communiter formato, constituunt plana hactenus explicata, non minus quam idem faciunt & illæ, quæ sunt inter se commensurabiles. Cæterum cum multiplex sit talium duarum planè incommensurabilium copulatio, alia aliâ ignobilior: non poterimus omnes bigas in unum gradum referre.
Sit ergo quintus scientiæ gradus, Cum duæ nec Effabiles ambæ, nec MESÆ, ampliùsque inter se planè incommensurabiles, utrumque faciunt Effabile, & summam quadratorum, & commune Rectangulum: non minùs quàm utrumque horum faciunt duæ longitudine Effabiles, per 20. decimi Euclidis, vel etiam duæ solâ potentiâ effabiles, sed inter se tamen longitudine commensurabiles, per eandem. Ut latus de quadrato 2. & latus de quadro 8. sunt inter se in proportione dupla, quia quadra sunt inter se in proportione quadrupla. Sunt ergò longitudine quidem Ineffabiles, at inter se commensurabiles. Earum quadrata 2. & 8. juncta faciunt 10. Effabile planum, Et ipsæ in se multiplicatæ (quod est Rectangulum formare) faciunt rectangulum 4. etiam effabile. Hoc idem inquam, faciunt etiam duæ nec Effabiles nec Mesæ, ampliusque inter se planè incommensurabiles: eòque non, ut priores illæ, in secundum vel tertium gradum scientiæ sunt referendæ, sed in Quintum.
Nota igitur quòd in hoc gradu mensuremus non lineas ipsas, nec singularum quadrata, sed mensuramus & commune ipsarum Rectangulum, & juncta utriusque quadrata in unam summam; ut quod uni quadrato deest, quo minùs sit effabile, id ab altero quadrato sociato exactè compensetur.
Sextus & ignobilior scientiæ gradus est, cum binæ junctæ, quæ nec effabiles, nec Mesæ, ambæ simul, etiamque inter se incommensurabiles, alterutrum saltem Effabile faciunt, reliquum verò Meson. Estque geminus; aut enim summa quadratorum effabilis, Rectangulum Meson; aut illa Meson, hoc effabile est.
Illo Effectu similes sunt Duabus Effabilibus sola potentia commensurabilibus, Nam potentiæ ambæ, hoc est quadrata Effabilia, faciunt etiam summam utriusque Effabilem: Rectangulum verò est Meson, per 22. decimi Eucl.
Hoc verò effectu similes sunt duabus Mesis sola potentiâ commensurabilibus, quæ sunt ad se mutuò, vt duæ Effabiles, inter quas prima ex 2. Mesis, est proportionalis Media; per 26. & 28. decimi Eucl. Nam quia sunt potentiâ commensurabiles: additæ igitur potentiæ faciunt summam partibus commensurabilem. At partes sunt Mesa, & quod Meso est commensurabile, ipsum etiam est Meson, per 24. decimi Eucl. Hic Rectangulum binarum metimur quidem plano quadrato diametri, at non etiam summam quadratorum: nam ei solùm invenimus duas lineas, Rectangulum ei æquale formantes, quarum quadrata metiamur quadrato diametri.
SEptimus adhuc ignobilior scientiæ gradus est, cùm duarum inter se incommensurabilium neuter effectus est effabilis, nec summa quadratorum, nec commune Rectangulum: sed tamen adhuc utrumque Meson.
Hisce sunt effectu similes, duæ Mesæ potentiâ solâ commensurabiles, quarum una sit ad alteram, vt una earum, quas inter MESE verè est Media proportionalis, commensurabilum sc: solâ potentiâ, ad tertiam aliquam, solâ potentiâ commensurabilem, per 29. Decimi Eucl.
Has tres bigas, duplici genere Planorum distinctas, Euclides ob id potissimùm docet invenire, quia faciunt ad compositionem & consitutionem specierum sequentium.
ERgo scientiæ Gradus Octavus ex præmissis interpositis derivatur, estque linearum iterum singularium, sed quæ compositione duorum nominum, sc. duarum copulatarum ex præcedentibus copulis, vel abstractione unius, Epharmozusæ dictæ, ab altera sociâ, constituuntur, novam speciem facientes. Ut sic in his sciamus seu mensuremus non integras lineas, non integrarum quadrata, non bina unuscujusque Nomina, sed eorum juncta quadrata & commune Rectangulum, ut prædentibus XVIII. XIX. Et quamvis totidem scientiæ gradus numerare possemus, quot sunt futuræ species, quarum semper prior est posteriore nobilior: quia tamen quælibet compositio vel abstractio ad suum gradum respicit, nec ipso compositionis vel abstractionis opere constituitur ulla diversitas, sed omnes se habent ex æquo ad suas Nominum seu Elementorum bigas: ideo unum solum earum gradum faciemus: sed species ejus sciamus nobilitate distinctas.
SCiendum est autem, ex duabus inter se longitudine commensurabilibus nihil fieri, quod hîc in censum venire debeat: sive Effabiles illæ fuerint, sive Mesæ, sive Ignobiliores.
Nam si commensurabiles longitudine, tota etiam ex ijs composita, erit partibus commensurabilis. At qui quæ Effabili commensuratur, Effabilis est: per definitiones ante 20. decimi Eucl. Quæ verò Mesæ commensurabilis, est Mese per 24. ejusdem. Et quæ cuique ex jam secuturis Ineffabilibus post Mesas, commensurabilis, ejusdem cum illa speciei est, per 66. 67. 68. 69. 70. 103. 104. 105. 106. 107. Et sic est etiam cum alijs speciebus remotioribus, ab Euclide non commemoratis, quæ gradus remotiores faciunt. Ac et si cum ijs non ita esset, id tamen ad nos nihil pertinet. Aut enim recidunt in unam specierum, quas jam constituemus ex incommensurabilibus; & sic non augent numerum: aut faciunt species ignobiliores vel sui vel alterius generis; & sic non sunt hujus loci, ubi gradus struimus, præmissis proximos nobilitate.
TRansmissis igitur ijs, quæ sunt longitudine commensurabiles, accedamus ad eas, quæ solâ potentiâ sunt commensurabiles. Igitur si componantur tales duæ Effabiles; fit BiNOMINIS: sin abstrahantur, ex relicto fit Apotome: utriusque sex sunt species subordinatæ P. 48. 85. libri decimi.
Sin autem tales duæ Mesæ componantur, aut Effabile formantes Rectangulum, aut Meson: fiunt compositione BIMEDIALES, abstractione, MESES APOTOMÆ, illic PRIORES, hîc POSTERIORES cognominatæ.
Hîc conjungere non licet Effabilem cum MESE: sunt enim tales duæ simpliciter incommensurabiles, de quo genere jam in sequenti agendum est.
REstant igitur planè inter se incommensurabiles. Ex ijs verò aliquæ bigæ requisitos effectus præstare non possunt; ut sunt binæ Mesæ, item una MESE cum una Effabili.
Illæ quidem propter bigæ ignobilitatem, istæ verò propter suas discrepantes Naturas. Vide 71. 108. 109. decimi Eucl. Nulla igitur species compositionis hinc potest arcessi: restantque nobis Ignobiliores tantùm, exclusis & Effabilibus & Mesis.
EX biga verò primâ talium planè incommensurabilium, scilic. quæ sunt in præmissâ XVII. scibiles gradu quinto, componendo abstrahendove rursum nascitur Effabilis; suntque necessariò BINOMINIS & APOTOME, vide 112. 113. 114. Decimi Euclidis. Ut si & summa quadratorum Binominis & Apotomes, & commune Rectangulum illis est Effabile, oportet Nomina singula unius, Nominibus singulis alterius esse commensurabilia, quod non fit in omnibus Binominibus & Apotomis.
Quòd Binæ tales lineæ, duos requisitos effectus præstantes, necessariò fiant Binominis & Apotome; demonstratur ad eundem modum, ad quem 33. decimi est demonstrata, tantùm vt pro duabus ῥηταῖς δυνάμει μόνον, adhibeantur ῥηταὶ μήκει, & ubi vox μέσον occurrit, ῥητὸν ponatur: & ultimò comparetur Definitio Binominis & Apotomes.
Quòd autem ex compositione & abstractione Binominis & Apotomes, duos requisitos Effectus præstantium, fiat rursum Effabilis; sic patet. Cùm enim summa quadratorum sit Effabilis, & rectangulum Effabile; compositarum igitur in unum, quadratum constabit ex utriusque quadrato, & duobus rectangulis communibus, ex duabus sc. partibus Effabilibus: quare & totum quadratum Effabile erit: igitur & linea composita, potens illud quadratum. Sit Binominis λμ ejus quandum κο, sit & apotome λθ, ejus quadrum θκ, & sint θκ, κο, juncta simul Effabilia, sit & Rectangulum ex θλ, λμ, effabile, talium autem duo κμ, κξ complent quadratum totius θμ compositæ, quod quadratum est θο.
De abstractione probatur in hunc modum. Si enim composita ex θλ, μλ, id est θμ, est effabilis, erit & dimidia θπ Effabilis, tanquam majus Nomen, & πλ Minus nomen, & altera dimidia πμ; aufer ab ea μσ æqualem ipsi θλ, erit & residua πσ Effabilis, & tota λσ, sc. dupla ipsius πσ. At πσ est residuæ post ablationem Apotomes μσ, à Binomine λμ. Residuum ergo sit Effabile.
IGitur ex secunda biga sexti gradus Num. XVIII. præmisso, linearum inter se planè incommensurabilium, quibus summa quadratorum est Effabilis, Rectangulum Meson; compositione nascitur MIZON, seu MAIOR dicta; abstractione ELASSON, seu MINOR, Ex tertia, ubi summa quadratorum est Meson, Rectangulum Effabile, quæ componendo nascitur, nomen habet Potens effabile & meson, quæ abstrahendo, faciens cum effabili meson totum. Denique ex quarta biga septimi gradus, Num: XIX. præmissâ, ubi uterque Effectus sit Meson; componendo fit Potens bina media, abstrahendo faciens cum meso meson totum.
Et ecce Originem duodecim specierum Euclidearum, earumque Numeri causas. Nam ad remotiores, quæ vel summam quadratorum, vel Rectangulum commune, vel utrumque, proferunt ultra Effabilia & Mesa, in ignobiliores species, non censuit Euclides sibi progrediendum esse.SVFficere ista poterant etiam nobis ad constituendos gradus Demonstrationum; quibus latera figurarum, nobis ad Harmonica necessariarum, distinguuntur: nisi quibusdam ex recensitis accederent aliæ insuper proprietates, imò nisi prævenirentur hactenus recensitæ proprietates, nobilioribus alijs; qubus cumulantur gradus scientificarum Demonstrationum.
Ventum est ad compositionem & abstractionem; ubi lineas componendas vel abstrahendas laxè sumpsimus, nullâ ijs impositâ certæ quantitatis necessitate. Quòd si jam adstringamus leges, impositâ certâ proportione bigis, non quidem sic datis, ut illæ junctæ unam duodecim specierum fecerunt; sed bigis aliter datis, uni scilicet rectæ datæ, & ejus parti majori inveniendæ, ut sit nimirum vel minor pars ad majorem, ut major ad componendam ex utraque; vel vicissim Major ad minorem; ut minor ad residuam: quod manet abstractione duarum factâ; non semper fiet gradus aliquis remotior, sed pro re nata, recidemus in unam explicatarum specierum, & regressu facto, comparabimus lineam constitutam, quæ per se est octavi gradus, cum lineis quarti gradus.
Quemadmodum enim in quarto gradu defin. XV. duæ rectæ communi operâ planum formabant, ex quo in quadratum redacto nascebatur linea, dicta Mese: sic jam duæ rectæ Tota & pars una, formant ipsam partem alteram subtrahendo, vel duæ partes formant totam addendo. Illic rectæ formantes, erant inter se commensurabiles solâ potentiâ: Hîc missa commensuratione, succedit proportionis identitas inter totum & partes. Illic proportionis similitudo erat inter minorem & faciendam, interque faciendam & majorem; hîc etiam est proportionis similitudo, inter faciendas duas, interque earum unam & propositam totam, in abstractione: in compositione verò inter faciendarum unam & propositam, interque propositam & faciendam alteram. Illic igitur datis duabus, dabatur Rectangulum æquale quadrato faciendæ, & sic planum ante lineam: hic è contrario, factis duabus faciendis, sequitur demum æqualitas inter Rectangulum extremarum & quadratum Mediæ, per 17. sexti & 11. secundi Euclidis.
Illic rectæ formantes, quadrata habebant commensurabilia quadrato Rectæ propositæ: hîc docet Euclides, Prop. 30. libri Sexti, & sumere quadratum, propositæ quadrato commensurabile; sc. sesquintuplum ejus, & ab hujus quadrati latere auferre semissem propositæ, ut restet pars in propsitâ statuenda, quâ parte de propsitâ ablatâ, relinquebatur pars altera requisita; (vel ad totam additâ fiebat etiam tertia requisita). Et tot nominibus partes hæ videntur accensendæ gradui quarto.
In hoc verò puncto nobilior ipsâ Mese redditur linea, quamcunque occupaverit ista proportio: quòd Mese longiori cathenâ, ex quatuor articulis compositâ, dependet ab effabili propositâ: hujus verò partes nituntur proportione sua, quam habent immediatè ad ipsam Effabilem propositam. Eoque fit ut Mesôn possint esse multæ, eodem omnes gradu distantes ab Effabili; pars verò major in hac proportione ipsius Effabilis una sola sit, & omninò cujusque lineæ post Effabilem, una singularis. Quo nomine æquiparatur ejus demonstratio primo quodammodò gradui.
Quando igitur proposita Recta jubetur esse tota, ejusque duæ tales partes quæruntur, tunc hæc Geometris dicitur sectio secundum Extrema & Medium. Nimirum hoc sibi vult Nomen quòd cùm aliâs vulgaris sectio totius in partes duas, non respiciat proportionem, aut si ad totam aliqua comparetur in eâ proportione, in quâ est minor pars ad majorem, tunc fiant quatuor termini, duo extremi & duo Medij: hic contrà fiant tantum tres termini, tota quidem & pars minor, duo extremi; pars verò major, medius terminus unicus.
Dicitur etiam eâdem de causa sectio proportionalis. Hodierni & sectionem & proportionem ejus cognominant Divinam, propter admirabile ejus ingenium, & multiplicia privilegia: quorum præcipuum est, quòd semper parte majori ad totam additâ, composita rursum est similiter secta; & quæ pars major erat, jam fit minor; quæ tota, jam major pars fit compositæ, per 5. Tredecimi Euclidis.
CVm autem sectio talis in omnibus lineis locum habeat, in Effabili longitudine, in Effabili solâ potentiâ, in Mese, in duodecim reliquis speciebus recensitis, in alijs omnibus: nos in præsenti opere duabus solis ejus speciebus habemus opus, quæ cum speciebus hactenus explicatis coincidunt; secundum duas lineas secandas. Nam aut Effabilis est illa longitudine, aut Mizon. Quòd si Effabilis est longitudine, quæ ad secandum proponitur; sectæ pars major fit Apotome quartæ speciei; & respondet ei Binominis ejusdem quartæ speciei, communia cum ipsâ habens nomina. Sed cave confundaris, pars quidem major illa dicitur, relatione ad propositam; at eadem Apotome hic dicitur, non relatione ad propositam; sed qualitativè. Quod si quæras, cujus sit apotome; respondetur, quòd sit apotome alicujus, quæ solâ potentiâ est commensurabilis propositæ, quæ sc. potest sesquiquartum propositæ.
Sit GA proposita ad secandum, sitque Effabilis longitudine. Fiat rectus angulus GAM & AM sit dimidia ipsius GA, & connexis GM punctis, centro M, intervallo GM scribatur semicirculus PGX, & AM continuetur in ejus circumferentiæ puncta PX. fiat super PA, quadratum PO. Ergò linea GA secta est proportionaliter in puncto O. Hæc igitur AO est pars major sectæ proportionaliter GA; at eadem AO vel ei æqualis AP, est Apotome non ipsius GA, sed ipsius MP vel MG, quæ potest tam GA, quàm AM illius dimidiam: vt si potentia ipsius GA sit 4. erit ipsius AM 1. Et ipsius igitur GM potentia erit 5. In quantum igitur AO vel AP est Apotome, respondet ei binominis AX: suntque nomina ipsius communia MX, vel MP, vel MG, & AM.
Quòd autem AP sit Apotome, & AX Binominis, utraque quartæ speciei, sic probatur; Est enim utrunque nomen effabile & MX & MA; sunt tamen solâ potentiâ commensurabiles, quia MX (id est MG) potest 5. qualiam MA potest 1. At 3. ad 5. non est vt numerus quadratus ad quadratum. Denique differentia potentiarum 1. & 5. est 4. numerus quadratus, cujus latus 2. longitudine Effabile, æquale sc. ipsi GA propositæ. Hæ verò sunt notæ speciei quartæ Binominum, in definitionibus ante P. 74: & Apotomarum, ante pr. 85. decimi Euclidis.
Denique si GA Effabilis secetur proportionaliter, pars ejus major OA & composita ex utraque OA, AG cadunt in gradum scientiæ quintum. Nam quadrata ipsarum juncta, summam faciunt Effabilem, triplum scilicet ipsius GA effabilis, per 4. Tredecimi Euclidis: Rectangulum verò etiam Effabile fit, quia est æquale quadrato ipsius GA effabili, cùm sit GA media proportionalis inter OA partem, & OA, AG compositam, per præmissa.
VIcissim, si aliqua Effabilis longitudine sic proportionaliter fuerit secta, pars ejus minor fit Apotome primæ speciei.
Vt si Effabilis sit GA, vt antea, & ejus sectæ proportionaliter pars major AO, minor OG; erit etiam OG Apotome, per 6. Tredecimi Euclidis.
Rursum a. OG dicitur Apotome qualitativè non relatione ad GA Effabilem longitudine, cujus est pars minor; nec relatione ad MG, vel MP, cujus ipsa AO vel AP est Apotome; sed habet GO, Nomina peculiaria. Cùm enim per Prop. 97, decimi Euclidis, quadratum cujuscunque Apotomes, & sic etiam quadratum PO, extensum ad Effabilem (vt hic ad GT, ipsi GA æqualem) faciat latitudinem GO, primæ speciei Apotomen: ipsa vicissim AO erat Apotome speciei quartæ. Illis igitur GO nomen majus, est Effabile longitudine; hujus AO majus nomen MP erat solâ potentiâ effabile. Et vicissim, quia nomina sunt solâ potentiâ commensurabila; oportet Minus nomen, seu Prosharmozusan ipsius GO, esse solâ potentiâ effabilem: cùm ipsius AO nomen minus AM esset longitudine effabile: utrique tamen hoc manet, quod differentia quadratorum à nominibus de scriptorum, fit quadratum alicujus effabilis longitudine.
Quæ autem sint hujus GO, primæ Apotomes Nomina, relinquo alijs quærendum. Prosharmonzusa quidem ipsi GO vt Apotomæ Primæ est unica sola per 79. Decimi Euclidis. Quæ debet esse talis, vt ejus quadratum sit Effabile non tamen numero quadrato: ipsa verò cum GO debet facere lineam unam Effabilem longitudine: & per 30. Decimi, si ex hac unâ totâ fiet diameter circuli, verbi causa PX; & si Prosharmozusa, paulò longior quâm PA (si quidem tota esset æqualis ipsi PX) ab uno termino Diametri X, applicetur circumferentiæ XG; tunc quâ signa GP connectit, debet esse ipsi PX toti commensurabilis longitudine.QVando vero secta fuerit proportionaliter aliqua Mizon; cujus quadratum sit æquale rectangulo sub longitudine, compositâ ex propositâ effabili & potente ejus quinque quartas, & sub latitudine quinque quartas potente; tunc minor pars fit Elasson: ubi Elasson est nomen non comparationis, sed qualitatis: major verò pars fit Mizon alia, rursum qualitativè intellecta, quæcunque ejus sint Elementa.
In schemate fol. 16. Sit vt prius, propositæ effabilis longitudo dimidia GA, ejusque rursum dimidia AM; vt qualium GA potest 4. possit AM 1. & sit GAM rectus, poterit igitur MG talium 5. continuetur MA utrinque, & centro M, intervallo MG, scribatur semicirculus PGX. Est igitur PX dupla ipsius GM; quare & PX poterit quinque quartas partes de potentiâ propositæ, duplæ ipsius GA. Sed PG, GX quadrata juncta, sunt æqualia quadrato PX, ergò & illa sunt quinque quartæ de quadrato propositæ effabilis. Porrò si ex PG.GX feceris lineam unam; ejus quadratum constabit ex duobus quadratis PG, GX, & ex duobus Rectangulis sub PG.GX, quibus sunt æqualia duo rectangula sub GA.PX, hoc est, unum Rectangulum, sub propositâ duplâ ipsius GA, & sub PX, effabilibus duabus, sed solâ potentiâ commensurabilibus: quam ob causam rectangulum hoc erit Meson, per 22. decimi Eucl. Cùm ergò quadratum lineæ PGX totius, constet ex quadrato PX effabili, & rectagulo Meso, ejusdem latitudinis PX: quæ duo, quadratum PX, & rectangulum sub duplâ ipsius GA & sub PX, sunt æqualia rectangulo, quod continetur sub PX, effabili, & sub compositâ, ex PX & duplâ ipsius GA, solâ potentiâ commensurabilibus, quarum partium major PX plus potest minore (duplâ ipsius GA) aliquâ sibi commensurabili longitudine (potest enim PX 5. qualium dupla ipsius GA potest 4. excessus igitur 1. est quadratum alicujus, quæ incommensurabilis est ipsi PX, eò quod 1. ad 5. non sit, vt quadratus numerus ad quadratum) quibus de causis dicta composita ex PX & GA duplicatâ, est Binominis quartæ speciei: cùm inquam quadratum totius PGX sit æquale tali rectangulo sub Apotome quartâ & Effabili: linea igitur PGX tota erit Mizon. Elementa ipsam componentia, sunt partes PG, GX. Nam quia PA, est Apotome, & AX Binominis: sunt igitur inter se longitudine Incommensurabiles. Vt verò PA ad AX: sic quadratum PG, ad quadratum GX. Ergò PG, GX sunt potentijs & sic simpliciter incommensurabiles inter se; & faciunt summam quadratorum effabilem, quippe æqualem quadrato PX: rectangulum verò sub PG, GX Meson. Ergò per 39. decimi, composita ex PG, GX est Mizon: Et per 76. Decimi, ablatâ PG, à GX, relinquitur Elasson. At qui tota PGX est secta proportionaliter in G, Nam vt PA ad AG, sit PG ad XG. At PA est ipsius GA proportionaliter sectæ pars major OA, quia MP potest ipsius MA quintuplum & Apotome AP æqualis est AO per 11. secund. Eucl. Ergò & PG est ipsius GX proportionaliter sectæ pars major; & per 5. Tredecimi, addita PG, pars major, ad GX totam, parit novam totam PGX, proportionaliter sectam in G; vt jam PG sit hujus compositæ pars minor, GX ejus major. Et sic PGX, existens aliqua Mizon, secta est eodem puncto G & in sua Elementa, ex quibus Mizon denominatur, & simul in suas partes proportionis divinæ. Dico easdem partes proportionaliter sectæ, esse simul etiam Elassona & Mizona. Quia enim AP est Apotome quarta, quod igitur sub AP Apotome & PX Effabili, est potentia Elassonis, per 94. decimi Euclidis: & quia AX est Binominis quarta, quod igitur sub hac & PX Effabili, est mizonis potentia: sed quadrata PG, GX, sunt æqualia Rectangulis APX, AXP, singula singulis, ergò PG est Elasson, GX Mizon.
Conveniunt igitur hic in unum, nomina qualitatum & nomina proportionum. Nam PG dicitur pars minor, respectu totius PGX proportionaliter sectæ in G; dicitur & linea minor seu Elementum minus ipsius PGX totius, ut hæc est aliqua Mizon qualitativè; dicitur denique græcè Elasson, quod sonat Latinè minor, qualitativè, respectu aliarum duarum linearum, hic non expressarum, quarum subtractione unius ab alterâ, ipsa constituitur.
Eodem modo GX, primò dicitur pars major totius PGX proportionaliter sectæ; secundò dicitur linea vel Elementum majus lineæ totius PGX, ut hæc est qualitativè Mizon suo proprio jure, non minus quam tota PGX suo: sed lineæ facientes ipsam GX Mizona compositione suâ; non sunt hîc expressæ.
Propter hunc concursum sectionis proportionalis, & sectionis Mizonis in sua Elementa, credo indita fuisse his speciebus Nomina qualitativa Mizonis & Elassonis.
Cavendum autem hic est diligenter, ne discrimina rerum confundamus; sectio proportionalis est absoluta proportio, non alligata ad unam aliquam lineam, in notitiâ primam, quæ proposita Effabilis dicitur: species verò istæ Mizonis & Elassonis, sunt figuratæ certis gradibus discessionis suæ à primâ propositâ Effabili. Itaque sectio divina progreditur in infinitum; at non sequitur eam affectio Mizonis & Elassonis: in illâ (sectione) pars quæ modo major erat, proximo gradu fit minor; in hac, Elasson qualitate suâ, numquam nulloque respectu fit Mizon, nec Mizon Elasson. Itaque si GX Mizon dividatur rursum proportionaliter, pars ejus major erit æqualis ipsi PG, eoque Elasson manebit qualitativè; nequaquam verò Mizon qualitate fiet, ut fit pars major quantiate: quamdiu quidem GA est Effabilis poroposita.
Quæris si Mizon sit PGX qualitate, Mizon etiam GX qualitate; cur non eitam ipsius GX Elementum majus possit esse aliqua Mizon, sicut ipsius PGX MIzonis majur Elementum erat GX, Mizon & ipsa? Quia etsi utraque est Mizon, tam PGX, quam GX; alia tam illic, alia hîc est formatio. Nam in quadratum PGX venit quadratum PX totum, rectangulum, sub duplici GA & sub PX, totum. At in quadratum GX, ingreditur de quadrato quidem PX, dimidium, sc. quod sub MX, XP, de rectangulo verò sub duplici GA & sub PX, pars solummodo quarta, sc. quod sub AM & sub PX. Alia igr hic est proportio Mesi ad Effabile, alia illic. Nostra verò propositio concursum hunc sectionis divinæ, & qualitativæ compositionis, in partibus lineæ ijsdem, de priore solùm PGX, eiusque propriâ proportione Mesi ad Effabilede, monstrare nititur, non itidem de posteriori.
Nota verò & hoc ad perfectionem analogiæ; quòd sicut GX Mizon compositione proportionis divinæ, fit maior aliqua Mizon, sc. PGX, additâ PG, quæ est ipsius GX, pars maior in sectione divina: sic è contrario, PG Elasson hujus speciei, sectione proportionis divinæ, dat PY minorem aliquam Elassona seipsâ, sc. ipsius PG sectæ partem majorem, vel ipsius GX sectæ partem minorem GV: ut sicut maxima PGX cadit per sectionem divinam, in XG Mizon & GP Elassona, sic secunda Mizon GX, cadat in duas Elassonas XV, VG, æquales sc. ipsis GP, PY: atque ita duæ Elassones componant unam Mizona; Mizon verò & Elasson aliam Majorem Mizona.
CLasses Figurarum singulas singuli faciunt numeri laterum Primi; & reputantur in classes, quæ habent Numerum laterum continuè duplum numeri sui Primi.
Sequitur hoc ex defin. X. hujus. Nam si omnium figurarum, quæ Numeros laterum habent unius alicujus continuè duplos, eadem est forma demonstrationis propriæ: omnium igitur illarum eadem est Classis, causa demonstrationis. Non mutat quippe bisectio genus vel classem, associata earum singulis; propter & simplicitatem & æqualitatem Partium, junctim: ex singulis enim prioris figuræ arcubus facit partes binæ tantùm, easquæ æquales. At trisectione aut Quinisectione, aut sequentibus, non effugies, quin aut inæquales designes partes, si binæ tantùm esse debeant, aut multas, id est, plures duabus; si æquales. Vt in trisectione arcus 3. vel secatur in 2. 1. binæ & inæquales, vel in 1. 1. 1. æquales sed multas.
Antecendens verò sic probatur. Demonstratio petitur à numero laterum; per X. hujus; Jam Primi numeri non communicant aliquâ parte numerosâ, nam unitas qua communicant, divisionem non admittens, non est pars numerosa vel numerus. Ergo etiam demonstrationes per eos factæ, non communicant inter se. Classes igitur singulorum Primorum distinctæ sunt. Harum prima est, in qua sunt figuræ (vel quasi) numeris laterum hisce: 2. 4. 8. 16. 32. & infinitæ: Secunda habet 3. 6. 12. 24. 48. 96. & infinitas: Tertia habet 5. 10. 20. 40. 80. 160. 320. & infinitas. Aliæ infintæ.
CLasses Figurarum singulas singuli faciunt Numeri, laterum duorum Primorum (excepto binario) minimi multiplices.
Sequitur hoc ex dinfitione XI. hujus. Nam si figura talis ad demonstrationem sui lateris non utitur numero suorum angulorum: est igitur diversa ejus demonstrationis forma à superioribus omnibus, quare eitam diversa classis. Exceptus verò fuit binarus à genesi novæ classis, in Primum aliquem multiplicatus: qua bisectio anguli cùm sit Geometrica, ipsa est, quæ calsses singulas ex æquo in infinitum prorogat: quòd nisi esset, classes nullæ essent, sed singulares tantùm figuræ. Harum prima est, 15. 30. 60. 120. 240. 480 &c. multicatis 3. in 5. Secunda 21. 42. 84. &c. multiplicatis 3. in 7. Sequuntur infinitæ vt cùm 5. in 7. ducitur. Hinc 35. 70. 140. &c.SEd & quadrati Primorum numerorum, excepto Binarij quadrato, & facti à quadratis & alio Primo, Primive quadrato, classes gignunt singulas, & distinctas à prioribus.
Quòd quadratus numeri Primi, non eandem cum Primo classem facit, causa est, qua cùm Primus ipse novam figurarum classem faciat, dividentium circulum totum, per XXX hujus: jam idem Primus, non totum, sed partem circuli dividens, omninò aliam faciet demonstrationem, si quidem illa possibilis fuerit: cùm Pars circuli à Toto multùm differat causâ speciej, figuartionisque absolutæ: in quâ figuratione nunc oppupamur, quippe quæ demonstrationem format.
Quòd autem binarij quadratus exciptiur; causa est, quia figura, bis duos habens angulos, hoc est, Tetragonus, cadit in classem primam: multiplicatum verò Quaternarius in Primum, cadit in Primi classem, quia quatuor sunt bis duo: omnis verò figurà, duplo laterum Numero, eodem refertur, quo figura simplo laterum Numero.
Harum prima est, in quâ figuræ 9. 18. 36. 72. 144. 288. laterum & infinitæ.
Secunda, in qua 25. 50. 100. 200. 400 & infinitæ.
Tertia, in quâ 49. 98. & infinitæ.
- Infinitæ aliæ classes à quadratis.
Sic 27. 54. 108. 216. 432. & infinitæ, ex 3. & 9.
Sic 75. 150. 300. & infinitæ, ex 3. & 25.
Sic 147. 294. & infinitæ, ex 3. & 49.
Sic 45. 90. 180. 360. & infinitæ, ex 5. & 9.
Sic 125. 250. 500. 1000. & infinitæ, ex 5. & 25.
Sic etiam 225. 450. 900. & infinitæ ex 9. & 25. duobus quadratis.
Infinitæ aliæ classes, ex Primis in quadratos, aut ex Primorum quadratis in se multiplicatis.
SI a duplo numeri angulorum Figuræ abstuleris quatuor, formabis Numeratorum partium anguli recti, quas valet angulus figuræ: Denominator verò partium est ipse numerus Angulorum.
Vt in Trigono bis tria sunt sex, aufer 4, restant 2. Ergò angulus Trigonicus valet tertias Recti. Sic in Icosigono, bis 20. sunt 40, aufer 4. Ergò angulus Icosigonicus valet 36. vicesimas vel 9. quintas unius Recti. Nam ejusque figuræ anguli distribuuntur intodiem triangula, quot habet latera, duobus minus. At cujuslibet Trianguli anguli valent duos Rectos: ergò cujuslibet figuræ anguli valent duplo plures Rectos, quàm Figura habet angulos, quatuor minùs. Hic verò numerus Rectorum distribuendus est in numerum angulorum figuræ, ergò hic denominat, ille numerat partes unius Recti.
| Dedicatio |
Liber II |