et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Via autem in probatione illius est similis viae in eo quod ostendimus ante ipsum, et illud est, quia, si nos produxerimus a punctis a b d ad superficiem circuli arcus gue perpendiculares tres quae sint az bh dt et posuerimus perpendicularem dt ex eis mediam in proportione inter duas alias perpendiculares, erit proportio perpendicularis az ad perpendicularem bh composita ex proportione perpendicilaris az ad perpendicularem dt et ex proportione perpendicularis dt ad perpendicularem bh. Proportio autem perpendicularis az ex eis ad perpendicularem bh est sicut proportio cordae dupli areus ae ad cordam dupli arcus eb, et proportio perpendicularis az ad perpendicularem dt est sicut proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud, et proportio perpendicularis dt ad perpendicularem bh est sicut proportio cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Hoc autem totum est, propter illud quod iam ostensum est in antecedente quod praemisimus. Ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Et illud est cuius voluimus declarationem. (Fig. 8 u. 9.)
§9. Iam ergo praecessit probatio duarum intentionum quas Ptholomeus probare voluit de re alcata, Reperiuntur vero modi alii de compositione proportionum in elcata, quos non narravit Ptholomeus et quibus non indiguit in complemento probationis eius quod praemisit de his duabus intentionibus, sicut indiguit divisionibus quarum praemisit narrationem. Verum quia sunt unius generis cum illis et sunt necessarii in rebus aliis, visum est mihi ut afferrem ad illud radices communicantes et aggregantes permutationes omnes per quas praeparatur permutatio proportionis in omnibus sex quantitatibus, quarum duarum proportio est composita ex duabus proportionibus quattuor reliquarum, donec, cum invenerit aliquis sex quantitates secundum hunc modum compositionis proportionis, possit permutare eas, et generet ex eis omnem rem cuius generatio possibilis est, sive sit res quae reperitur in arcubus super spaeram, sicut in alcata aut in lineis rectis in superficie, sive secundum modum dissolutionis sit illud, sive secundum modum compositionis, aut quocumque modo sit. Quod autem generatur ex omnibus sex quantitatibus secundum hunc modum decem et septem modi sunt de compositione proportionis, qui cum radice ex qua generantur erunt decem et octo modi.
