– 22 –
§ 12. Nos autem iam ostendimus quod necessarii sunt in unaquaque illarum duo
modi compositionis, dico igitur quod non est necessarius in aliqua earum modus
tertius. Et ponam exemplum in eo simile illi quod praecessit. Proportio igitur a ad b
componitur ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; nos autem iam
ostendimus, quod oportet secundum illud, ut sit proportio a ad b composita etiam
ex proportione g ad u et ex proportione e ad d, dico igitur quod non est
necessarius in illo modus tertius. Et illud est, quoniam haec proportio aut
dicetur esse composita ex proportione quae est inter g e et d u, aut ex
ea quae est inter g d et e u, aut ex ea quae est inter g u et d e. Quod si
fuerit necessarium ut sit composita ex proportione quae est inter g e et d u,
erit unaquaque duarum proportionum g e et d u etiam composita ex duabus
proportionibus inter quattuor reliquas; sed nos iam ostendimus, quod illud non est
necessarium. De ea vero quae est inter g d et e u, et de ea quae est inter
g e et d u (?), iam diximus quod componitur secundum duos modos in unaquaque
earum; dico igitur, quod non oportet ut componatur secundum modum alium
eorum qui sunt inter istas de proportionibus; et illud est quoniam iam possibile
est, ut sint quantitates duae ad non aequales, et similiter quantitates g d e u.
Sit ergo ita, et sit proportio a ad b prius composita ex duabus proportionibus quae
sunt inter g d et e u, non secundum modum quem diximus, si possibile est illud.
Si ergo composita fuerit ex proportione g ad d et ex proportione u ad e, cum iam
fuerit etiam composita ex proportione g ad d et ex proportione e ad u, tunc
proportio u ad e erit sicut proportio e ad u, duarum igitur linearum e u non
est una maior altera; nos autem iam posuimus eas diversas, hoc quidem
est contrarium. Quod si composita fuerit proportio a ad b ex proportione
d ad g et ex proportione e ad u, demonstrabitur secundum viam huic similem,
quod d g sunt aequales, sed non est ita. Si ergo composita fuerit proportio a
ad b ex proportione d ad g et ex proportione u ad e, et proportio b ad a est
etiam composita ex his duabus proportionibus, tunc a b erunt aequales; sed non
sunt ita; proportio igitur a ad b non componitur ex proportione, quae est inter
g d et e u, secundum aliquem modorum excepto eo quem praediximus. Similiter
quoque ostenditur, quod non est composita ex proportione quae est inter g u d e
nisi secundum modum unum cuius praemisimus narrationem; si enim contingeret
illud secundum modum alium, aequarentur aut duae quantitates g u, aut duae
quantitates d e, aut duae quantitates a b, sed illud non est ita. Non est igitur
hic modus tertius in compositione proportionis a ad b exceptis duabus modis
quos diximus.
Similiter quoque non erunt in aliqua combinationum reliquaram de novem combinationibus nisi duo modi; erit igitur summa modorum decem
