Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/102

92

de congruentiis secundi gradus.

eritque $a^{5}\equiv 1$, sive $(a-1)(a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {5n+1}}$. At quia nequit esse $a\equiv 1$, neque adeo $a-1\equiv 0$; necessario erit $a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1\equiv 0$. Quare etiam $(a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)=$ $(2aa+a+2)^{2}-5a^{2}\!$ erit $\equiv 0$ i. e. $5a^{2}\!$ erit residuum ipsius $5n+1$, adeoque etiam $5$, quia $a^{2}\!$ est residuum per $5n+1$ non divisibile ($a$ enim per $5n+1$ non divisibilis propter $a^{5}\equiv 1$). Q. E. D.

At casus, ubi numerus primus formae $5n+4$ proponitur, subtiliora artificia postulat. Quoniam vero propositiones, quarum ope negotium absolvitur, in sequentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum eas attingimus.

I. Si $p$ est numerus primus atque $b$ non-residuum quadraticum datum ipsius $p$, valor expressionis $(A)\ldots {\frac {(x+\surd {b})^{p+1}-(x-\surd {b})^{p+1}}{\surd {b}}}$ (ex qua evoluta irrationalitatem abire facile perspicitur), semper per $p$ divisibilis erit, quicunque numerus pro $x$ assumatur. Patet enim ex inspectione coëfficientium, qui ex evolutione ipsius $A$ obtinentur, omnes terminos a secundo usque ad penultimum (incl.) per $p$ divisibiles fore, adeoque esse $A\equiv$ $2(p+1)$$\textstyle (x^{p}+xb^{\scriptstyle {\frac {p-1}{2}}}){\pmod {p}}$. At quoniam $b$ ipsius $p$ non-residuum est, erit $b^{\scriptstyle {\frac {p-1}{2}}}\equiv$ $\textstyle -1{\pmod {p}}$, (art. 106); $x^{p}\!$ autem semper est $\equiv x$ (Sect. praec.), unde fit $A\equiv 0$. Q. E. D.

II. In congruentia $\textstyle A\equiv 0{\pmod {p}}$, indeterminata $x$ habet $p$ dimensiones omnesque numeri $0$, $1$, $2$ $\ldots$ $p-1$ illius radices erunt. Iam ponatur $e$ esse divisorem ipsius $p+1$ eritque expressio ${\frac {(x+\surd {b})^{e}-(x-\surd {b})^{e}}{\surd {b}}}$ (quam per $B$ designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libera, indeterminata $x$ in ipsa $e-1$ dimensiones habebit, constatque ex analyseos primis elementis, $A$ per $B$ (indefinite) esse divisibilem. Iam dico $e-1$ valores ipsius $x$ dari, quibus in $B$ substitutis, $B$ per $p$ divisibilis evadat. Ponatur enim $A\equiv BC$, habebitque $x$ in $C$ dimensiones $p-e+1$, adeoque congruentia $\textstyle C\equiv 0{\pmod {p}}$ non plures quam $p-e+1$ radices. Unde facile patet, omnes reliquos numeros ex his $0$, $1$, $2$, $3$ $\ldots$ $p-1$, quorum multitudo $=e-1$, congruentiae $B\equiv 0$ radices fore.

III. Iam ponatur $p$ esse formae $5n+4$, $e=5$, $b$ non-residuum ipsius $p$, atque numerum $a$ ita determinatum, ut sit