Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/91

81

criterium generale.

105.

Superest casus, ubi modulus $m$ e pluribus numeris primis compositus est. Sit $m=abc\ldots$, designantibus $a$, $b$, $c$ etc. numeros primos diversos aut primorum diversorum potestates, patetque statim, si $n$ sit residuum ipsius $m$, fore etiam $n$ residuum singulorum $a$, $b$, $c$ etc., adeoque $n$ certo non-residuum ipsius $m$ esse, si fuerit NR. ullius e numeris $a$, $b$, $c$ etc. Vice versa autem, si $n$ singulorum $a$, $b$, $c$ etc. residuum est, etiam residuum producti $m$ erit. Supponendo enim, $n\equiv A^{2}\!$, $B^{2}\!$, $C^{2}\!$ etc. sec. mod. $a$, $b$, $c$ etc. resp., patet, si numerus $N$ ipsis $A$, $B$, $C$ etc. sec. mod. $a$, $b$, $c$ etc resp. congruus eruatur (art. 32), fore $n\equiv NN$ secundum omnes hos modulos adeoque etiam secundum productum $m$. — Quum facile perspiciatur, hoc modo e combinatione cuiusvis valoris ipsius $A$ sive expr. $\textstyle \surd {n}{\pmod {a}}$ cum quovis valore ipsius $B$ cum quovis valore ipsius $C$ etc. oriri valorem ipsius $N$ sive $\textstyle \surd {n}{\pmod {m}}$, nec non e combinationibus diversis produci diversos $N$, et e cunctis cunctos: multitudo omnium valorum diversorum ipsius $N$ aequalis erit producto e multitudinibus valorum ipsorum $A$, $B$, $C$ etc., quas determinare in art. praec. docuimus. — Porro manifestum est, si unus valor expressionis $\textstyle \surd {n}{\pmod {m}}$ sive ipsius $N$ fuerit notus, hunc simul fore valorem omnium $A$, $B$, $C$ etc.; et quum hinc per art. praec. omnes reliqui valores harum quantitatum deduci possint, facile sequitur, ex uno valore ipsius $N$ omnes reliquos obtineri posse.

Ex. Sit modulus 315, cuius residuum an non-residuum sit 46, quaeritur. Divisores primi numeri 315 sunt 3, 5, 7, atque numerus 46 residuum cuiusvis eorum, quare etiam ipsius 315 erit residuum. Porro, quia 46 ≡ 1, et ≡ 64 (mod. 9); ≡ 1 et ≡ 16 (mod. 5); ≡ 4 et ≡ 25 (mod. 7), inveniuntur radices quadratorum, quibus 46 secundum modulum 315 congruus, 19, 26, 44, 89, 226, 271, 289, 296.

Criterium generale, utrum numerus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum.

106.

Ex praecedentibus colligitur, si tantummodo semper dignosci possit, utrum numerus primus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum, omnes reliquos casus ad hunc reduci posse. Pro illo itaque casu criteria certa omni studio nobis erunt indaganda. Antequam autem hanc perquisitionem aggrediamur, criterium quoddam exhibemus ex Sect. praec. petitum, quod quamvis in praxi nul-

I. 11