Quum omnium harum propositionum demonstrationes ex iisdem principiis sint petendae, necesse non erit omnes evolvere: demonstratio prop. 9, quam apponimus tamquam exemplum inservire potest. Ante omnia autem observetur, quemvis numerum formae aut nullum factorem formae habere, aut duos, aut quatuor etc., i. e. multitudinem talium factorum (inter quos etiam aequales esse possunt) semper fore parem: quemvis vero formae multitudinem imparem factorum formae (i. e. aut unum aut tres aut quinque etc.) implicare. Multitudo factorum formae indeterminata manet.
Prop. 9 ita demonstratur. Sit productum e factoribus primis , , etc., , , etc.; eritque factorum , , etc. multitudo par (possunt etiam nulli adesse, quod eodem redit). Iam si est residuum ipsius , erit residuum etiam omnium factorum , , etc. , , etc., quare per propp. 1, 3 art. praec. singuli hi factores erunt residua ipsius , adeoque etiam productum . vero idem esse debet. — Quodsi vero est residuum ipsius , eoque ipso omnium factorum , , etc. , etc. ; singuli , etc. erunt ipsius residua, singuli , etc. autem non-residua. Sed quum posteriorum multitudo sit par, productum ex omnibus, i. e. , ipsius residuum erit, hincque etiam ,
Investigationem adhuc generalius instituamus. Contemplemur duos numeros quoscunque impares inter se primos, signis quibuscunque affectos, et . Concipiatur sine respectu signi sui in factores suos primos resolutus, designeturque per , quot inter hos reperiantur, quorum non-residuum sit . Si vero aliquis numerus primus, cuius non-residuum est , pluries inter factores ipsius occurrit, pluries etiam numerandus erit. Similiter sit multitudo factorum primorum ipsius , quorum non-residuum est . Tum numeri , certam relationem mutuam habebunt ab indole numerorum , pendentem. Scilicet si alter numerorum , est par vel impar, numerorum , forma docebit, utrum alter par sit vel impar. Haec relatio in sequenti tabula exhibetur.
Erunt , simul pares vel simul impares, quando numeri , habent
formas:
| 1. | , | ||
| 2. | , |
