Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/112

102

de congruentiis secundi gradus.

3.	$+A$,		$+B$
4.	$+A$,		$-B$
5.	$-A$,		$-A'$
6.	$+B$,		$-B'$

Contra numerorum $p$, $q$ alter erit par, alter impar, quando numeri $P$, $Q$ habent formas:

7.	$-A$,		$+B$
8.	$-A$,		$-B$
9.	$+B$,		$+B'$
10.	$-B$,		$-B'$[1]

Ex. Sint numeri propositi -55 et +1197, qui ad casum quartum erunt referendi. Est autem 1197 non-residuum unius factoris primi ipsius 55, scilicet numeri 5, -55 autem non-residuum trium factorum primorum ipsius 1197, scilicet numerorum 3, 3, 19.

Si $P$ et $Q$ numeros primos designant, propositiones hae abeunt in eas quas art. 131 tradidimus. Hic scilicet $p$ et $q$ maiores quam $1$ fieri nequeunt, quare quando $p$ ponitur esse par, necessario erit $=0$ i. e. $Q$ erit residuum ipsius $P$, quando vero $p$ est impar, $Q$ ipsius $P$ non-residuum erit. Et vice versa. Ita scriptis $a$, $b$ loco ipsorum $A$, $B$, ex 8 sequitur, si $-a$ fuerit residuum vel non-residuum ipsius $b$, fore $-b$ non-residuum vel residuum ipsius $a$, quod cum 3 et 4 art. 131 convenit.

Generaliter vero patet, $Q$ residuum ipsius $P$ esse non posse nisi fuerit $p=0$; si igitur $p$ impar, $Q$ certo ipsius $P$ non-residuum erit.

Hinc etiam propp. art. praec. sine difficultate derivari possunt.

Ceterum mox patebit, hanc repraesentationem generalem plus esse quam speculationem sterilem, quum theorematis fundamentalis demonstratio completa absque ea vix perfici possit.

1. Sit	$l=1$	si uterque $\textstyle P,Q\equiv 3{\pmod {4}}$, alioquin	$l=0$
   	$m=1$	si uterque $P,Q$ negativus, alioquin	$m=0$

   tunc relatio pendet ab $l+m$.