Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/118

Haec pagina emendata est

108

de congruentiis secundi gradus.

erit $h$ non-residuum vel utriusque $p$ , $a'\!$ , vel neutrius. Priori in casu ex $(\beta )$ sequitur $\pm ap{N}d$ , et quum per hyp. sit $\pm a{N}a'\!$ , erit $\pm p{R}a'\!$ . Hinc per theor. fundam., quod pro numeris $p$ , $a'\!$ ipso $T+1$ minoribus valet, $\pm a'{R}p$ . Hinc et ex eo quod $h{N}p$ , fit per $(\gamma )$ $\pm a{N}p$ . Q. E. D. Posteriori casu ex $(\beta )$ sequitur $\pm ap{R}a'\!$ , hinc $\pm p{N}a'\!$ , $\pm a'{N}p$ , hincque tandem et ex $h{R}p$ fit ex $(\gamma )$ $\pm a{N}p$ . Q. E. D.

3) Quando $e$ per $a'\!$ non autem per $p$ est divisibilis. Pro hoc casu demonstratio tantum non eodem modo procedit ut in praec., neminemque qui hanc penetravit poterit morari.

4) Quando $e$ tum per $a'\!$ tum per $p$ est divisibilis adeoque etiam per productum $a'p$ (numeros $a'\!$ , $p$ enim inaequales esse supponimus, quia alias id quod demonstrare operam damus, esse $a{N}p$ iam in hypothesi $a{N}a'\!$ contentum foret), sit $e=ga'p$ atque $g^{2}a'p=1\pm ah$ . Tum erit $h<a$ , ad $a'\!$ et $p$ primus atque pro signo superiori formae $4n+3$ , pro inferiori formae $4n+1$ . Facile vero perspicitur, ex ista aequatione deduci posse haec $a'p{R}h$ $\ldots$ $(\alpha )$ ; $\pm ah{R}a'$ $\ldots$ $(\beta )$ ; $\pm ah{R}p$ $\ldots$ $(\gamma )$ . Ex $(\alpha )$ quod convenit cum $(\alpha )$ in (2) sequitur perinde ut illic, esse vel simul $h{R}p$ , $h{R}a'\!$ , vel $h{N}p$ , $h{N}a'\!$ . Sed in casu priori foret per $(\beta )$ , $a{R}a'\!$ , contra hyp.; quare erit $h{N}p$ , adeoque per $(\gamma )$ etiam $a{N}p$ .

II. Quando iste numerus primus est formae $4n+3$ , demonstratio praecedenti tam similis est, ut eam apponere superfluum nobis visum sit. In eorum gratiam qui per se eam evolvere gestiunt (quod maxime commendamus), id tantum observamus, postquam ad talem aequationem $e^{2}=bp\pm af$ (designante $b$ illum numerum primum) perventum fuerit, ad perspicuitatem profuturum, si utrumque signum seorsim consideretur.

140.

Casus quartus. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ( $=a$ ), $p$ formae $4n+3$ , atque $\pm p{N}a$ , non poterit esse $+a{R}p$ sive $-a{N}p$ . (Casus sextus supra).

Etiam huius casus demonstrationem, quum prorsus similis sit demonstrationi casus tertii, brevitatis gratia omittimus.