Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/119

109

theorema fundamentale.

141.

Casus quintus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ($=b$), $p$ eiusdem formae, atque $+pRh$ sive $-pNb$, nequit esse $+bRp$ sive $-bNp$. (Casus tertius supra).

Sit $\textstyle p=e^{2}{\pmod {b}}$, atque $e$ par et $<b$.

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Ponatur $e^{2}=p+bf$, eritque $f$ positivus, formae $4n+3$, $<b$ atque ad $p$ primus. Porro erit $pRf$ adeoque per prop. 13 art. 132, $-fRP$. Hinc et ex $+bfRp$ fit $-bRp$ adeoque $+bNp$. Q. E. D.

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ atque $ggp=1+bh$. Tum erit $h$ formae $4n+1$ atque ad $p$ primus, $\textstyle p\equiv g^{2}p^{2}{\pmod {h}}$, adeoque $pRh$; hinc fit $+hRp$ (prop. 10 art. 132), unde et ex $-bhRp$ sequitur $-bRp$, sive $+bNp$. Q. E. D.

142.

Casus sextus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ($=b$), $p$ formae $4n+1$, atque $pRb$, non poterit esse $\pm bNp$. (Supra casus septimus).

Demonstrationem praecedenti omnino similem omittimus.

143.

Casus septimus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ($=b$), $p$ eiusdem formae, atque $+pNb$ sive $-pRb$, non poterit esse $+bNp$ sive $-bRp$. (Casus quartus supra).

Sit $\textstyle -p\equiv e^{2}{\pmod {b}}$, atque $e$ par et $<b$.

I. Quando $e$ per $p$ non divisibilis. Sit $-p=e^{2}-bf$ eritque $f$ positivus, formae $4n+1$, ad $p$ primus ipsoque $b$ minor (etenim $e$ certo non maior quam $b-1$, $p<b-1$, quare erit $bf=e^{2}+p<b^{2}-b$, i. e. $f<b-1$). Porro erit $-pRf$ hinc (prop. 10 art. 132) $+fRp$, unde et ex $+bfRp$ fit $+bRp$, sive $-bNp$.

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$, atque $g^{2}p=-1+bh$. Tum erit $h$ positivus, formae $4n+3$, ad $p$ primus et $<b$. Porro erit $-pRh$, unde fit (prop. 14 art. 132) $+hRp$. Hinc et ex $bhRp$ sequitur $+bRp$ sive $-bNp$. Q. E. D.