Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/117

Haec pagina emendata est

107

theorema fundamentale.

adeoque (prop. 10 art. 132) $+f{R}p$ . Sed est etiam $+fa{R}p$ , quare fiet $+a{R}p$ , sive $-a{N}p$ .

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ , atque $f=ph$ . Erit itaque $g^{2}p=1+ha$ . Tum $h$ erit positivus, formae $4n+3$ ( $B$ ), et ad $p$ et $g^{2}\!$ primus. Porro $+g^{2}p{R}h$ , adeoque $+p{R}h$ ; hinc fit (prop. 13 art. 132) $-h{R}p$ . At est $-ha{R}p$ , unde fit $+a{R}p$ atque $-a{N}p$ .

139.

Casus tertius. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ( $=a$ ), $p$ eiusdem formae, atque $\pm p{N}a$ : non potest esse $\pm a{R}p$ . (Supra casus secundus).

Capiatur aliquis numerus primus ipso $a$ minor, cuius non-residuum sit $+a$ , quales dari supra demonstravimus (artt. 125, 129). Sed hic duos casus seorsim considerare oportet, prout hic numerus primus fuerit formae $4n+1$ vel $4n+3$ , non enim demonstratum fuit, dari tales numeros primos utriusque formae.

I. Sit iste numerus primus formae $4n+1$ et $=a'\!$ . Tum erit $\pm a'{N}a$ (art. 131) adeoque $\pm a'p{R}a$ . Sit igitur $\textstyle e^{2}\equiv a'p{\pmod {a}}$ atque $e$ par, $<a$ . Tunc iterum quatuor casus erunt distinguendi.

1) Quando $e$ neque per $p$ neque per $a'\!$ est divisibilis. Ponatur $e^{2}=a'p\pm af$ , signis ita acceptis ut $f$ fiat positivus. Tum erit $f<a$ , ad $a'\!$ et $p$ primus atque pro signo superiori formae $4n+3$ , pro inferiori formae $4n+1$ . Designemus brevitatis gratia per $[x,y]$ multitudinem factorum primorum numeri $y$ quorum non-residuum est $x$ . Tum erit $a'p{R}f$ adeoque $[a'p,f]=0$ . Hinc erit $[f,a'p]$ numerus par (propp. 1, 3, art. 133), i. e. aut $=0$ aut $=2$ . Quare erit $f$ aut residuum utriusque numerorum $a'\!,$ $p$ , aut neutrius. Illud autem est impossibile, quum $+af$ sit residuum ipsius $a'\!,$ atque $\pm a{N}a'\!$ (hyp.); unde fit $\pm f{N}a'\!$ . Hinc $f$ debet esse utriusque numerorum $a'\!,$ $p$ non-residuum. At propter $\pm af{R}p$ erit $\pm a{N}p$ . Q. E. D.

2) Quando $e$ per $p$ , neque vero per $a'\!$ est divisibilis, sit $e=gp$ , atque $g^{2}p=a'\pm ah$ , signo ita determinato, ut $h$ fiat positivus. Tum erit $h<a$ , ad $a'\!$ , $g$ et $p$ primus, atque pro signo superiori formae $4n+3$ , pro inferiori vero formae $4n+1$ . Ex aequatione $g^{2}p=a'\pm ah$ , si per $p$ et $a'\!$ multiplicatur, nullo negotio deduci potest, $pa'{R}h$ $\ldots$ $(\alpha )$ ; $\pm ahp{R}a'\!$ $\ldots$ $(\beta )$ ; $aa'h{R}p$ $\ldots$ $(\gamma )$ . Ex $(\alpha )$ sequitur $[pa',h]=0$ . adeoque (propp. 1, 3, art. 133) $[h,pa']$ par, i. e.

14*