Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/117

E Wikisource
Haec pagina emendata est
107
theorema fundamentale.

adeoque (prop. 10 art. 132) . Sed est etiam , quare fiet , sive .

II. Quando per est divisibilis, sit , atque . Erit itaque . Tum erit positivus, formae (), et ad et primus. Porro , adeoque ; hinc fit (prop. 13 art. 132) . At est , unde fit atque .


139.

Casus tertius. Quando est formae (), eiusdem formae, atque : non potest esse . (Supra casus secundus).

Capiatur aliquis numerus primus ipso minor, cuius non-residuum sit , quales dari supra demonstravimus (artt. 125, 129). Sed hic duos casus seorsim considerare oportet, prout hic numerus primus fuerit formae vel , non enim demonstratum fuit, dari tales numeros primos utriusque formae.


I. Sit iste numerus primus formae et . Tum erit (art. 131) adeoque . Sit igitur atque par, . Tunc iterum quatuor casus erunt distinguendi.

1) Quando neque per neque per est divisibilis. Ponatur , signis ita acceptis ut fiat positivus. Tum erit , ad et primus atque pro signo superiori formae , pro inferiori formae . Designemus brevitatis gratia per multitudinem factorum primorum numeri quorum non-residuum est . Tum erit adeoque . Hinc erit numerus par (propp. 1, 3, art. 133), i. e. aut aut . Quare erit aut residuum utriusque numerorum , aut neutrius. Illud autem est impossibile, quum sit residuum ipsius atque (hyp.); unde fit . Hinc debet esse utriusque numerorum non-residuum. At propter erit . Q. E. D.

2) Quando per , neque vero per est divisibilis, sit , atque , signo ita determinato, ut fiat positivus. Tum erit , ad , et primus, atque pro signo superiori formae , pro inferiori vero formae . Ex aequatione , si per et multiplicatur, nullo negotio deduci potest, ; ; . Ex sequitur . adeoque (propp. 1, 3, art. 133) par, i. e.



14*