Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/120

110

de congruentiis secundi gradus.

144.

Casus octavus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ($=b$), $p$ formae $4n+1$, atque $+pNb$ sive $-pRb$, non poterit esse $\pm bRp$. (Casus ultimus supra).

Demonstratio perinde procedit ut in casu praecedenti.

Methodus analoga, theorema art. 114 demonstrandi.

145.

In demonstratt. praecc. semper pro e valorem parem accepimus (artt. 137, 144); observare convenit, etiam valorem imparem adhiberi potuisse, sed tum plures adhuc distinctiones introducendae fuissent. Qui his disquisitionibus delectantur, haud inutile facient, si vires suas in evolutione horum casuum exercitent. Praeterea theoremata ad residua $+2$ et $-2$ pertinentia tunc supponi debuissent; quum vero nostra demonstratio absque his theorematibus sit perfecta, novam hinc methodum nanciscimur, illa demonstrandi. Quae minime est contemnenda, quum methodi, quibus supra pro demonstratione theorematis, $\pm 2$ esse residuum cuiusvis numeri primi formae $8n+1$, usi sumus, minus directae videri possint. Reliquos casus (qui ad numeros primos formarum $8n+3$, $8n+5$, $8n+7$ spectant) per methodos supra traditas demonstratos, illudque theorema tantummodo per inductionem inventum esse supponemus; hanc autem inductionem per sequentes reflexiones ad certitudinis gradum evehemus.

Si $\pm 2$ omnium numerorum primorum formae $8n+1$ residuum non esset, ponatur minimus primus huius formae, cuius non-residuum $\pm 2$, $=a$, ita ut pro omnibus primis ipso $a$ minoribus theorema valeat. Tum accipiatur numerus aliquis primus $<{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}a$, cuius non-residuum $a$ (qualem dari ex art. 129 facile deducitur). Sit hic $=p$ eritque per theor. fund. $pNa$. Hinc fit $\pm 2pRa$. — Sit itaque $\textstyle e^{2}\equiv 2p{\pmod {a}}$, ita ut $e$ sit impar atque $<a$. Tum duo casus erunt distinguendi.

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Sit $e^{2}=2p+aq$ eritque $q$ positivus, formae $8n+7$ vel formae $8n+3$ (prout $p$ est formae $4n+1$ vel $4n+3$), $<a$, atque per $p$ non divisibilis. Iam omnes factores primi ipsius $q$ in quatuor classes distribuantur, sint scilicet $e$ formae $8n+1$, $f$ formae $8n+3$, $g$ formae $8n+5$, $h$ formae $8n+7$; productum e factoribus primae classis sit $E$, producta e factoribus secundae, tertiae, quartae classis respective, $F$, $G$, $H$^[1].

1. Si ex aliqua classe nulli factores adessent, loco producti ex his $1$ scribere oporteret.