Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/127

117

formae divisorum ipsius $xx-A$.

150.

Formae hae plures habent proprietates satis memorabiles, quarum tamen unam tantummodo apponimus. Si $B$ est numerus compositus ad $A$ primus, inter cuius factores primos occurrunt $2m$, qui in aliqua forma non-divisorum ipsius $xx-A$ continentur, $B$ in aliqua forma divisorum ipsius $xx-A$ contentus erit; si vero multitudo factorum primorum ipsius $B$ in aliqua forma non-divisorum ipsius $xx-A$ contentorum impar est, $B$ quoque in forma non-divisorum contentus erit. Demonstrationem quae non est difficilis, omittimus. Hinc vero sequitur, non modo quemvis numerum primum sed etiam quemvis compositum imparem ad $A$ primum, qui in aliqua forma non-divisorum contineatur, non-divisorem fore; necessario enim aliquis factor primus talis numeri debet esse non-divisor.

De aliorum laboribus circa has investigationes.

151.

Theorema fundamentale, quod sane inter elegantissima in hoc genere est referendum, in eadem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum. Quod eo magis est mirandum, quum aliae quaedam propositiones illi superstruendae, ex quibus ad illud facile reveniri potuisset, ill. Eulero iam innotuerint. Formas certas dari, in quibus omnes divisores primi numerorum formae $xx-A$ contineantur, aliasque, in quibus omnes non-divisores primi numerorum eiusdem formae sint comprehensi, ita ut hae illas excludant, noverat methodumque illas formas inveniendi eruerat: sed omnes ipsius conatus ad demonstrationem perveniendi semper irriti fuerunt, veritatique illi per inductionem inventae maiorem tantummodo verisimilitudinem conciliaverunt. In aliqua quidem tractatione, Novae demonstrationes circa divisores numerorum formae xx+nyy, quae in Acad. Petrop. recitata est 1775 Nov. 20, et post mortem viri summi in T. I. Nov. Act. huius Ac. p. 47 sqq. est conservata, voti se compotem credidisse videtur: sed hic error irrepsit, scilicet p. 65 tacite supposuit, formas tales divisorum et non-divisorum exstare^[1], unde non difficile erat quales esse debeant, derivare: methodus autem qua usus est ad comprobationem illius suppositionis haud

1. Nempe dari numeros $r$, $r'\!$, $r''\!$ etc.; $n$, $n'\!$, $n''\!$ etc. omnes diversos et $<4A$ tales ut omnes divisores primi ipsius $xx-A$ sub aliqua formarum $4Ak+r$, $4Ak+r'\!$ etc. contineantur, omnesque non-divisores primi sub aliqua harum $4Ak+n$, $4Ak+n'\!$ etc. (designante $k$ numerum indeterminatum).