Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/128

118

de congruentiis secundi gradus.

idonea videtur. In alio schediasmate, De criteriis aequationis fxx+gyy=hzz utrumqne resolutionem admittat necne, Opusc. Anal. T. I. (ubi $f$, $g$, $h$ sunt dati, $x$, $y$, $z$ indeterminati) per inductionem invenit, si aequatio pro aliquo valore ipsius $h=s$ solubilis sit, eandem pro quovis alio valore ipsi $s$ secundum mod. $4fg$ congruo, siquidem sit numerus primus, solubilem fore, ex qua propositione suppositio, de qua diximus, haud difficile demonstrari potest. Sed etiam huius theorematis demonstratio omnes ipsius labores elusit^[1], quod non est mirandum, quia nostro iudicio a theoremate fundamentali erat proficiscendum. Ceterum veritas huius propositionis ex iis, quae in Sect. sequenti docebimus, sponte demanabit.

Post Eulerum, clar. Le Gendre eidem argumento operam navavit, in egregia tract. Recherches d'analyse indéterminée, Hist. de l'Ac. des Sc. 1785 p. 465 sqq., ubi pervenit ad theorema, quod si rem ipsam spectas, cum th. fund. idem est, scilicet designantibus $p$, $q$ duos numeros primos positives, fore residua absolute minima potestatum $\textstyle p^{\scriptstyle {\frac {q-1}{2}}}$, $\textstyle q^{\scriptstyle {\frac {p-1}{2}}}$ sec. mod. $q$, $p$ resp. aut ambo $+1$, aut ambo $-1$, quando aut $p$ aut $q$ sit formae $4n+1$; quando vero tum p tum q sit formae $4n+3$, alterum res. min. fore $+1$, alterum $-1$, p. 516, ex quo sec. art. 106 derivatur, relationem (in signif. art. 146 acceptam) ipsius $p$ ad $q$ ipsiusque $q$ ad $p$ eandem esse, quando aut $p$ aut $q$ sit formae $4n+1$, oppositam, quando tum $p$ tum $q$ sit formae $4n+3$. Propos. haec inter propp. art. 131 est contenta, sequitur etiam ex 1, 3, 9, art. 133; vicissim autem theor. fund. ex ipsa derivari potest. Clar. Le Gendre etiam demonstrationem tentavit, de qua, quum perquam ingeniosa sit, in Sect. seq. fusius loquemur. Sed quoniam in ea plura sine demonstratione supposuit (uti ipse fatetur p. 520: Nous avons supposé seulement etc.), quae partim a nemine hucusque sunt demonstrata, partim nostro quidem iudicio sine theor. fund. ipso demonstrari nequeunt: via quam ingressus est, ad scopum deducere non posse videtur, nostraque demonstratio pro prima erit habenda. — Ceterum infra duas alias demonstrationes eiusdem gravissimi theorematis trademus, a praec. et inter se toto coelo diversas.

1. Uti ipse fatetur, l. c. p. 216: „Huius elegantissimi theorematis demonstratio adhuc desideratur, postquam a pluribus iamdudum frustra est investigata… Quocirca plurimum is praestitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem huius theorematis invenire.“ — Quanto ardore vir immortalis demonstrationem huius theorematis aliorumque, quae tantummodo casus speciales theor. fundam. sunt, desideraverit, videre licet ex multis aliis locis Opuscc. Anall. Conf. Additamentum ad diss. VIII. T. I. et diss. XIII. T. II. pluresque diss. in Communt. Petrop., iam passim laudatas.