Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/135

125

transformatio.

formarum determinantes erunt aequales^[1] atque $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$. In hoc casu formas aequivalentes dicemus. Quare ad formarum aequivalentiam aequalitas determinantium est conditio necessaria, licet illa ex hac sola minime sequatur. — Substitutionem $x=\alpha x'+\beta y'\!$, $y=\gamma x'+\delta y'\!$ vocabimus transformationem propriam, si $\alpha \delta -\beta \gamma$ est numerus positivus, impropriam, si $\alpha \delta -\beta \gamma$ est negativus; formam $F'\!$ proprie aut improprie sub forma $F$ contentam esse dicemus, si $F$ per transformationem propriam aut impropriam in formam $F'\!$ transmutari potest. Si itaque formae $F$, $F'\!$ sunt aequivalentes, erit $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$, adeoque si transformatio est propria, $\alpha \delta -\beta \gamma =+1$, si est impropria, $=-1$. — Si plures transformationes simul sunt propriae, aut simul impropriae, similes eas dicemus; propriam contra et impropriam dissimiles.

Aequivalentia, propria et impropria.

158.

Si formarum $F$, $F'\!$ determinantes sunt aequales atque $F'\!$ sub $F$ contenta: etiam $F$ sub $F'\!$ contenta erit et quidem proprie vel improprie, prout $F'\!$ sub $F$ proprie vel improprie continetur. Transeat $F$ in $F'\!$ ponendo $\,x=\alpha x'+\beta y'\!$,   $y=\gamma x'+\delta y'\,\,$ transibitque $F'\!$ in $F$ ponendo $x'=\delta x-\beta y$,   $y'=-\gamma x+\alpha y\!\!$ Patet enim per hanc substitutionem ex $F'\!$ fieri idem, quod fiat ex $F$ ponendo $x=\alpha (\delta x-\beta y)+\beta (-\gamma x+\alpha y)$,   $y=\gamma (\delta x-\beta y)+\delta (-\gamma x+\alpha y)$ sive $x=(\alpha \delta -\beta \gamma )x$,   $y=(\alpha \delta -\beta \gamma )y$ Hinc vero manifesto ex $F$ fit $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}F$ i. e. rursus $F$ (art. praec). Perspicuum autem est, transformationem posteriorem esse propriam vel impropriam, prout prior sit propria vel impropria.

Si tum $F'\!$ sub $F$, tum $F$ sub $F'\!$ proprie continetur, formas proprie aequi-

1. Manifestum est ex analysi praecedente hanc propositionem etiam ad formas, quarum determinans $=0$, patere. Sed aequatio $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$ ad hunc casum non est extendenda.