Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/136

126

de formis secundi gradus.

valentes, si illae sub invicem improprie, vocabimus improprie aequivalentes. — Ceterum usus harum distinctionum mox innotescet.

Exempl. Forma $2xx-8xy+3yy$ per substitutiones $x=2x'+y'\!$, $y=3x'+2y'\!$ transit in formam $-13x'x'-12x'y'-2y'y'\!$, haec vero in illam factis $x'=2x-y$, $y'=-3x+2y$. Quare formae $(2,-4,3)$, $(-13,-6,-2)$ erunt proprie aequivalentes.

Problemata quae tractare iam aggrediemur, sunt haec: I. Propositis duabus formis quibuscunque eundem determinantem habentibus, investigare, utrum sint aequivalentes necne, utrum proprie aut improprie aut utroque modo, nam etiam hoc fieri potest. Quando vero determinantes inaequales habent, annon saltem altera alteram implicet, proprie vel improprie vel utroque modo. Denique invenire omnes transformationes alterius in alteram, tam proprias quam improprias. II. Proposita forma quacunque, invenire utrum numerus datus per eam repraesentari possit omnesque repraesentationes assignare. Sed quoniam formae determinantis negativi hic aliam methodum requirunt quam formae determinantis positivi, primo trademus ea quae utrisque sunt communia, tum vero formas cuiusvis generis seorsim considerabimus.

Formae oppositae.

159.

Si forma $F$ formam $F'\!$ implicat, haec vero formam $F''\!$, forma $F$ etiam formam $F''\!$ implicabit.

Sint indeterminatae formarum $F$, $F'\!$, $F''\!$ respective $x$, $y$; $x'\!$, $y'\!$; $x''\!$,$y''\!$ transeatque $F$ in $F'\!$ ponendo $x=\alpha x'+\beta y'$,   $y=\gamma x'+\delta y'$ $F'\!$ in $F''\!$ ponendo $x'=\alpha 'x''+\beta 'y''$,   $y'=\gamma 'x''+\delta 'y''$ patetque, $F$ in $F''\!$ transmutatum iri ponendo $x=\alpha (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\beta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$,   $y=\gamma (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\delta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$ sive $x=(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')x''+(\alpha \beta '+\beta \delta ')y''$,   $y=(\gamma \alpha '+\delta \gamma ')x''+(\gamma \beta '+\delta \delta ')y''$ Quare $F$ ipsam $F''\!$ implicabit.