Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/137

Haec pagina emendata est

127

transformatio.

Quia $(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')(\gamma \beta '+\delta \delta ')-(\alpha \beta '+\beta \delta ')(\gamma \alpha '+\delta \gamma ')=(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')$ adeoque positivus, si tum $\alpha \delta -\beta \gamma$ tum $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '$ positivus aut uterque negativus, negativus vero, si alter horum numerorum positivus alter negativus: forma $F$ formam $F''\!$ proprie implicabit, si $F$ ipsam $F'\!$ et $F'\!$ ipsam $F''\!$ eodem modo implicant, improprie, si diverso.

Hinc sequitur, si quotcunque formae habeantur $F$ , $F'\!$ , $F''\!$ , $F'''\!$ etc., quarum quaevis sequentem implicet, primam implicaturam esse ultimam, et quidem proprie, si multitudo formarum, quae sequentem suam improprie implicant, fuerit par, improprie si multitudo haec impar.

Si forma $F$ formae $F'\!$ est aequivalens, formaque $F'\!$ formae $F''\!$ : forma $F$ formae $F''\!$ aequivalens erit, et quidem proprie, si forma $F$ formae $F'\!$ eodem modo aequivalet ut forma $F'\!$ formae $F''\!$ improprie, si diverso.

Quia enim formae $F$ , $F'\!$ , his $F'\!$ , $F''\!$ , respective sunt aequivalentes, tum illae has resp. implicabunt, adeoque $F$ ipsam $F''\!$ , tum hae illas. Quare $F$ , $F''\!$ aequivalentes erunt. Ex praec. vero sequitur, $F$ ipsam $F''\!$ proprie vel improprie implicare, prout $F$ ipsi $F'\!$ et $F'\!$ ipsi $F''\!$ eodem modo vel diverso sint aequivalentes, ut et $F''\!$ ipsam $F$ : quare in priori casu $F$ , $F''\!$ proprie, in posteriori improprie aequivalentes erunt.

Formae $(a,-b,c)$ , $(c,b,a)$ , $(c,-b,a)$ formae $(a,b,c)$ aequivalent, et quidem duae priores improprie, ultima proprie.

Nam $axx+2bxy+cyy$ transit in $ax'x'+2bx'y'+cy'y'\!$ , ponendo $x=x'+0.y'\!$ , $x=0.x'-y'\!$ , quae trän sformatio est impropria propter $1\!\times \!-1-0.0=-1$ ; in formam $cx'x'+2bx'y'+ay'y'\!$ vero per transformationem impropriam $x=0.x'+y'\!$ , $x=x'+0.y'\!$ ; et in formam $cx'x'-2bx'y'+ay'y'\!$ per propriam $x=0.x'-y'\!$ , $x=x'+0.y'\!$ .

Hinc manifestum est, quamvis formam, formae $(a,b,c)$ aequivalentem, vel ipsi, vel formae $(a,-b,c)$ proprie aequivalere; similiterque, si quae forma formam $(a,b,c)$ implicet aut sub ipsa contineatur, eam vel formam $(a,b,c)$ vel formam $(a,-b,c)$ proprie implicare, aut sub alterutra proprie contineri. Formas $(a,b,c)$ , $(a,-b,c)$ oppositas vocabimus.