Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/138

Haec pagina emendata est

128

de formis secundi gradus.

Formae contiguae.

160.

Si formae $(a,b,c)$ , $(a',b',c')$ eundem determinantem habent, insuperque est $c=a'$ et $\textstyle b\equiv -b'{\pmod {c}}$ , sive $\textstyle b+b'\equiv 0{\pmod {c}}$ , formas has contiguas dicemus, et quidem, quando determinatione accuratiori opus est, priorem posteriori a parte prima, posteriorem priori a parte ultima contiguam dicemus.

Ita ex. gr. forma (7, 3, 2) formae (3, 4, 7) a parte ultima contigua, forma (3, 1, 3) oppositae suae (3, −1, 3) ab utraque parte.

Formae contiguae semper sunt proprie aequivalentes. Nam forma $axx+2bxy+cyy$ transit in formam contiguam $cx'x'+2b'x'y'+c'y'y'$ per substitutionem $x=-y'\!$ , $y=x'+{\tfrac {b+b'}{c}}y'\!$ (quae est propria ob $0\!\times \!{\tfrac {b+b'}{c}}-1\!\times \!-1=1)$ , uti per evolutionem adiumento aequationis $bb-ac=b'b'-cc'\!$ facile probatur; ${\tfrac {b+b'}{c}}$ vero per hyp. est integer. — Ceterum hae definitiones et conclusiones locum non habent, si $c=a'=0$ . Hic vero casus occurrere nequit, nisi in formis, quarum determinans est numerus quadratus.

Formae $(a,b,c)$ , $(a',b',c')$ proprie aequivalentes sunt, si $a=a'\!$ , $\textstyle b\equiv b'{\pmod {a}}$ . Forma enim $(a,b,c)$ formae $(c,-b,a)$ proprie aequivalet (art. praec), haec vero formae $(a',b',c')$ a parte prima contigua erit.

Divisores communes coëfficientium formarum.

161.

Si forma $(a,b,c)$ formam $(a',b',c')$ implicat, quivis divisor communis numerorum $a$ , $b$ , $c$ etiam numeros $a'\!$ , $b'\!$ , $c'\!$ metietur, et quivis divisor communis numerorum $a$ , $2b$ , $c$ ipsos $a'\!$ , $2b'\!$ , $c'\!$ .

Si enim forma $axx+2bxy+cyy$ per substitutiones $x=\alpha x'+\beta y'\!$ , $y=\gamma x'+\delta y'\!$ in formam $a'x'x'+2b'x'y'+c'y'y'\!$ transit: habebuntur hae aequationes ${\begin{aligned}a\alpha \alpha +2b\alpha \gamma +c\gamma \gamma &=a'\\a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta &=b'\\a\beta \beta +2b\beta \delta +c\delta \delta &=c'\end{aligned}}$ unde propositio statim sequitur (pro parte secunda propos. loco aequationis secundae hanc adhibendo $2a\alpha \beta +2b(\alpha \delta +\beta \gamma )+2c\gamma \delta =2b'\!$ ).