Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/35

25

solutio congruentiarum.

non modo impossibilitatem, si quam forte conditiones propositae implicent, statim detegendi, sed etiam calculum commodius atque concinnius instituendi.

34.

Sint ut supra conditiones propositae, ut sit $\textstyle z\equiv a{\pmod {A}}$, $\textstyle z\equiv b{\pmod {B}}$, $\textstyle z\equiv c{\pmod {C}}$. Resolvantur omnes moduli in factores inter se primos, $A$ in $A\ A'\ A''$ etc.; $B$ in $B\ B'\ B''$ etc. etc., et quidem ita, ut numeri $A\ A'$ etc. $B\ B'$ etc. etc. sint aut primi, aut primorum potestates. Si vero aliquis numerorum $A,B,C$ etc. iam per se est primus, aut primi potestas, nulla resolutione in factores pro hocce opus est. Tum vero ex praecedentibus patescit, pro conditionibus propositis hasce substitui posse: $\textstyle z\equiv a{\pmod {A'}}$, $\textstyle z\equiv a{\pmod {A''}}$, $\textstyle z\equiv a{\pmod {A'''}}$ etc., $\textstyle z\equiv b{\pmod {B'}}$, $\textstyle z\equiv b{\pmod {B''}}$ etc. etc. Iam nisi omnes numeri $A,B,C$ etc. fuerint inter se primi, ex. gr. si $A$ ad $B$ non primus, manifestum est, omnes divisores primos ipsorum $A$, $B$ diversos esse non posse, sed inter factores $A,A',A''$ etc, unum aut alterum esse debere, qui inter $B,B',B''$etc. aut aequalem aut multiplum aut submultiplum habeat. Si primo $A'=B'$, conditiones $\textstyle z\equiv a{\pmod {A'}}$, $\textstyle z\equiv b{\pmod {B'}}$ identicae esse debent, sive $\textstyle a\equiv b{\pmod {A'\mathrm {\ vel\ } B'}}$, quare alterutra reiici poterit. Si vero non $\textstyle a\equiv b{\pmod {A'}}$, problema impossibilitatem implicat. Si secundo $B'$ multiplum ipsius $A'$, conditio $\textstyle z\equiv a{\pmod {A'}}$ in hac $\textstyle z\equiv b{\pmod {B'}}$ contenta esse debet, sive haec $\textstyle z\equiv b{\pmod {A'}}$, quae ex posteriori deducitur cum priori identica esse debet. Unde sequitur, conditionem $\textstyle z\equiv a{\pmod {A'}}$, nisi alteri repugnet (in quo casu problema impossibile), reiici posse. Quando omnes conditiones superfluae ita reiectae sunt, patet, omnes modulos ex his $A',A'',A'''$ etc., $B',B'',B'''$ etc. etc. remanentes inter se primos fore: tum igitur de problematis possibilitate certi esse et secundum praecepta ante data procedere possumus.

35.

Ex. Si ut supra esse debet $\textstyle z\equiv 17{\pmod {504}}$, $\textstyle \equiv -4{\pmod {35}}$, et $\textstyle \equiv 33{\pmod {16}}$; hae conditiones in sequentes resolvi possunt, $\textstyle z\equiv 17{\pmod {8}}$, $\textstyle \equiv 17{\pmod {9}}$, $\textstyle \equiv 17{\pmod {7}}$, $\textstyle \equiv -4{\pmod {5}}$, $\textstyle \equiv -4{\pmod {7}}$, $\textstyle \equiv 33{\pmod {16}}$. Ex his conditiones $\textstyle z\equiv 17{\pmod {8}}$, $\textstyle z\equiv 17{\pmod {7}}$ reiici possunt, quum prior in conditione $\textstyle z\equiv 33{\pmod {16}}$ contineatur, posterior vero cum hac $\textstyle z\equiv -4{\pmod {7}}$ sit identica; remanent itaque

I.

4