Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/391

381

resolutio fractionum in simpliciores.

Sol. Sint fractiones quaesitae ${\tfrac {x}{a}}$,${\tfrac {y}{b}}$, fierique debebit $bx+ay=m$; hinc $x$ erit radix congruentiae $\textstyle bx\equiv m{\pmod {a}}$, quae per Sect. II erui poterit, $y$ vero fiet $={\tfrac {m-bx}{a}}$.

Ceterum constat, congruentiam $\textstyle bx\equiv m$ radices infinite multas, sed secundum $a$ congruas, habere, unica vero tantum positiva minorque quam $a$ dabitur; fieri autem potest etiam, ut $y$ evadat negativus. Vix necesse erit monere, $y$ etiam per congruentiam $\textstyle ay\equiv m{\pmod {b}}$, atque $x$ per aequationem $x={\tfrac {m-ay}{b}}$ inveniri posse. E. g. proposita fractione 58/77, erit 4 valor expr. 58/11 (mod. 7), unde 58/77 resolvitur in 4/7+2/11.

310.

Si fractio ${\tfrac {m}{n}}$ proponitur, cuius denominator $n$ est productum e factoribus quotcunque inter se primis $a$, $b$, $c$, $d$ etc. : per art. praec. primo in duas resolvi potest, quarum denominatores sint $a$ et $bcd$ etc.; secunda iterum in duas denominatorum $b$ et $cd$ etc.; posterior rursus in duas et sic porro, unde tandem fractio proposita sub hanc formam redigetur $\textstyle {\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+{\frac {\delta }{d}}+$etc. Numeratores $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ etc. manifesto positivos ac denominatoribus suis minores accipere licebit, praeter ultimum, qui reliquis determinatis non amplius est arbitrarius, atque etiam negativus aut denominatore maior fieri potest (siquidem non supponimus $m<n$). Tum plerumque e re erit, ipsum sub formam ${\tfrac {\varepsilon }{e}}\mp k$ redigere, ita ut $\varepsilon$ sit positivus ac minor quam $e$, $k$ vero integer. Denique patet, $a$, $b$, $c$ etc. ita accipi posse, ut sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates.

Ex. Fractio 391/924, cuius denominator =4.3.7.11 hoc modo resolvitur in 1/4+40/231; 40/231 in 2/3−38/77; −38/77 in 1/7−7/11; unde, scribendo 4/11−1 pro −7/11 fit 391/924 = 1/4+2/3+1/7+4/11−1.

311.

Fractio ${\tfrac {m}{n}}$ unico tantum modo sub formam ${\tfrac {\alpha }{a}}+{\tfrac {\beta }{b}}+$ etc. $\mp k$ reduci potest, ita ut $\alpha$, $\beta$ etc. sint positivi ac minores quam $a$, $b$ etc. scilicet supponendo $\textstyle {\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+$etc.$\textstyle \mp k={\frac {\alpha '}{a}}+{\frac {\beta '}{b}}+{\frac {\gamma '}{c}}+$etc.$\mp k'$