Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/392

382

variae disquisitionum praecedentium applicationes.

atque etiam $\alpha '$, $\beta '$ etc. positivos ac minores quam $a$, $b$ etc., necessario erit $\alpha =\alpha '\!$, $\beta =\beta '\!$, $\gamma =\gamma '\!$ etc., $k=k'\!$. Multiplicando enim per $n=abc$ etc., patet fieri $m\equiv \alpha bcd$ etc. $\equiv \alpha 'bcd$ etc. $\!\!\textstyle {\pmod {a}}\!\!$, unde, quoniam $bcd$ etc. ad $a$ primus est, necessario $\alpha \equiv \alpha '\!$ adeoque $\alpha =\alpha '\!$, et perinde $\beta =\beta '\!$ etc., unde etiam sponte $k=k'\!$. Iam quum prorsus arbitrarium sit, cuiusnam denominatoris numerator primus supputetur, manifestum est, omnes numeratores ita investigari posse, ut $\alpha$ in art. praec., puta $\beta$ per congruentiam $\beta acd$ etc. $\textstyle \equiv m{\pmod {b}}$, $\gamma$ per hanc $\gamma abd$ etc. $\textstyle \equiv m{\pmod {c}}$ etc.; summa omnium fractionum sic inventarum vel propositae ${\tfrac {m}{n}}$ aequalis erit, vel differentia numerus integer $=k$, qua via simul confirmationem calculi nanciscimur. Ita in ex. art. praec. valores expr. 391/231 (mod. 4), 391/208 (mod. 3), 391/132 (mod. 7), 391/84 (mod. 11) statim suppeditant numeratores 1, 2, 1, 4 denominatoribus 4, 3, 7, 11 respondentes, summaque harum fractionum propositam unitate superare invenitur.

Conversio fractionum communium in decimales.

312.

Definitio. Si fractio communis in decimalem convertitur, seriem figurarum decimalium^[1] (excluso si quis adest numero integro), sive finita sit, sive in infinitum excurrat, fractionis mantissam vocamus, expressionem, alias tantummodo apud logarithmos usitatam, in significatione latiori accipientes. Ita e. g. fractionis 1/8 mantissa est 125, mantissa fractionis 35/16 1875, fractionis 2/37 mantissa 054054… in inf.

Ex hac definitione statim patet, fractiones eiusdem denominatoris ${\tfrac {l}{n}}$, ${\tfrac {m}{n}}$ easdem vel diversas mantissas habere, prout numeratores $l$, $m$ secundum $n$ congrui sint vel incongrui. Mantissa finita non mutatur, si ad dextram cifrae quotcunque apponantur. Mantissa fractionis ${\tfrac {10m}{n}}$ obtinetur, rescindendo a mantissa fractionis ${\tfrac {m}{n}}$ figuram primam et generaliter mantissa fractionis ${\tfrac {10^{\nu }m}{n}}$ invenitur rescindendo $\nu$ figuras primas mantissae ipsius ${\tfrac {m}{n}}$. Mantissa fractionis ${\tfrac {1}{n}}$ statim figura significativa (i. e. a cifra diversa) incipit, si $n$ non $>10$; si vero $n>10$ ac nulli potestati ipsius $10$ aequalis, multitudoque figurarum e quibus constat est $k$, primae $k-1$ figurae mantissae ipsius ${\tfrac {1}{n}}$ erunt cifrae atque demum sequens $k$^ta erit significativa. Hinc facile deducitur, si ${\tfrac {l}{n}}$, ${\tfrac {m}{n}}$ mantissas diversas habeant (i. e.

1. Brevitatis caussa disquisitionem sequentem ad systema vulgare decadicum restringimus, quum facile ad quodvis aliud extendi possit.