si , sec. incongrui), has certo in primis figuris convenire non posse, sed saltem in ta discrepare debere.
Problema. Dato denominatore fractionis atque primis figuris ex ipsius mantissa, invenire numeratorem , quem ipso minorem supponimus.
Sol. Considerentur illae figurae tamquam numerus integer, qui per multiplicetur, productumque per dividatur (sive ultimae figurae resecentur). Si quotiens est integer (sive figurae resectae cifrae), ipse manifeste erit numerator quaesitus atque mantissa data completa; sin minus, numerator quaesitus erit integer proxime maior, sive ille quotiens unitate auctus, postquam figurae decimales sequentes reiectae sunt. Ratio huius regulae tam facile ex iis, quae ad finem art. praec. observavimus, cognoscitur, ut explicatione uberiori opus non sit.
Ex. Si constat, duas figuras primas mantissae fractionis, cuius denominator 23, esse 69, habemus productum 23.69 = 1587, a quo duas ultimas figuras abiiciendo, unitatemque addendo, numerator quaesitus prodit = 16.
Inchoamus a consideratione talium fractionum, quarum denominatores sunt numeri primi vel numerorum primorum potestates, posteaque reliquas ad has reducere ostendemus. Et primo statim observamus, mantissam fractionis , (cuius numeratorem per numerum primum non divisibilem essse semper supponimus) finitam esse, atque ex figuris constare, si aut ; in casu priori haec mantissa, tamquam numerus integer considerata, erit , in posteriori . Haec tam obvia sunt, ut expositione non egeant.
Si vero est alius numerus primus, a per numquam divisibilis erit, quantumvis magnus accipiatur , unde sponte sequitur, mantissam fractionis necessario in infinitum progredi. Supponamus, esse potestatem infimam numeri , quae unitati secundum modulum congrua fit (Conf. Sectio III, ubi ostendimus, vel numero aequalem vel ipsius partem aliquotam esse), perspicieturque facile, etiam a fore numerum, in serie , , etc. primum, qui ipsi a secundum eundem modulum sit congruus. Iam quum per art. 312 mantissae fractionum , oriantur, demendo man-
